北京玉渊潭中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B ={抽到二等品},事件C ={抽到三等品},且已知 P(A)= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3
参考答案:
略
2. 下列命题中不正确的是( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】根据空间中直线与直线,直线与平面位置关系及几何特征,逐一分析给定四个结论的真假,可得答案.
【解答】解:如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ,故A正确;
如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在平行于交线的直线平行于平面β,故B正确;
如果平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α⊥平面β,故如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β,故C正确;
如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l与平面β的关系不确定,故D错误;
故选:D
3. 如图,在山脚A测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走米到B,在B处测得山顶P的仰角为,求山高h=( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
4. 要得到y=sin(2x﹣)的图象,需要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
D
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线,进行平移变换,推出结果.
【解答】解:将函数y=sin2x向右平移个单位,即可得到的图象,就是的图象;
故选D.
【点评】本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意x的系数.
5. 函数的定义域是( )
A.[-1,+∞) B.[-1,0) C.(-1,+∞) D.(-1,0)
参考答案:
C
6. (5分)已知样本:
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 12
那么频率为0.3的范围是()
A. 5.5~7.5 B. 7.5~9.5 C. 9.5~11.5 D. 11.5~13.5
参考答案:
B
考点: 频率分布表.
专题: 计算题.
分析: 根据已知数据,求出样本容量及各组的频数,进而根据频率=,计算出各组的频率,进而比照四个中的频率,可得结论
解答: 由已知可和样本数据的样本容量为20
其中在5.5~7.5的频数为:2,其频率为0.1,故A不正确;
其中在7.5~9.5的频数为:6,其频率为0.3,故B正确;
其中在9.5~11.5的频数为:7,其频率为0.35,故C不正确;
其中在11.5~13.5的频数为:5,其频率为0.25,故D不正确;
故选B
点评: 本题考查的知识点是频率分布表,其中掌握公式频率=,是解答的关键
7. (5分)一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为()
A. B. C. 16π D. 24π
参考答案:
B
考点: 球的体积和表面积.
专题: 计算题.
分析: 通过球的表面积求出球的半径,然后求出球的体积.
解答: 一个球的表面积是16π,所以球的半径为:2;那么这个球的体积为:=
故选B
点评: 本题是基础题,考查球的表面积、体积的计算,考查计算能力,公式的应用,送分题.
8. 在等差数列中,若前5项和,则等于 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2ww.k@s@5@ 高#考#资#源#网
参考答案:
A
略
9. 数列{an}的通项公式为,其前n项和为Sn,则( )
A. 1010 B. 1 C. 0 D. -1
参考答案:
C
【分析】
根据数列通项依次列举出数列的项,进而发现,每4项之和为0,从而求解.
【详解】数列的通项公式为,,
可知每四项之和为0,故得到
故答案为:C.
【点睛】这个题目考查了数列求和的应用,常见的数列求和的方法有:列项求和,倒序相加求和,错位相减求和,以及列举数列的项,找规律求和.
10. 点P(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点的坐标是( )
A.(﹣x,﹣y,z) B.(﹣x,y,z) C.(x,﹣y,z) D.(x,y,﹣z)
参考答案:
D
【考点】空间中的点的坐标.
【专题】计算题;规律型;空间位置关系与距离.
【分析】直接利用空间点的坐标的对称性求解即可.
【解答】解:点P(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点的坐标是(x,y,﹣z).
故选:D.
【点评】本题考查空间点的坐标的对称性的应用,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于函数定义域中任意的有如下结论
① ②
③ ④
当时,上述结论中正确的序号是( )
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
参考答案:
B
略
12. 不等式的解集是_________ .
参考答案:
13. 关于的一元二次不等式的解集是,则不等式的解集是____________.
参考答案:
略
14. 在锐角△ABC中,,,则中线AD长的取值范围是_______;
参考答案:
【分析】
本道题运用向量方法,计算AD的长度,同时结合锐角三角形这一条件,计算bc的范围,即可。
【详解】设,,对运用正弦定理,得到
,解得,结合该三角形为锐角三角形,得到不等式组
,解得,故,结合二次函数性质,得到,运用向量得到,
所以
,结合bc的范围,代入,得到的范围为
【点睛】本道题考查了向量的加法运算,考查了锐角三角形判定定理,考查了二次函数的性质,关键将模长联系向量方法计算,难度偏难。
15. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表(结果保留两位有效数字):
(1)填写表中的男婴出生频率;
(2)这一地区男婴出生的概率约是__________.
参考答案:
(1)0.49 0.54 0.50 0.50 (2)0.50
解析:频率可以利用频率来求近似概率.
(1)中各频率为0.49,0.54,0.50,0.50.
(2)由(1)得概率约为0.50.
误区警示:
概率不是频率的平均值
在求概率时,应该根据“随试验次数的增多,频率会逐渐稳定在某一常数,这一常数称为事件发生的概率”来求解,不能够把若干次试验所得的频率求平均值作为概率.
16. 下列说法:
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件次品;
②做100次抛硬币的试验,有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51;
③随机事件A的概率是频率值,频率是概率的近似值;
④随机事件A的概率趋近于0,即P(A)→0,则A是不可能事件;
⑤抛掷骰子100次,得点数是1的结果是18次,则出现1点的频率是;
⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率;
其中正确的有____________________________________
参考答案:
略
17. 已知,则 。
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在凸四边形ABCD中,.
(1)若, , ,求sinB的大小.
(2)若,且,求四边形ABCD的面积.
参考答案:
(1) ;(2)
【分析】
(1)在中利用余弦定理可求得,从而可知,求得;在中利用正弦定理求得结果;(2)在中利用余弦定理和可表示出;在中利用余弦定理可得,从而构造出关于的方程,结合和为锐角可求得;根据化简求值可得到结果.
【详解】(1)连接
在中,,,
由余弦定理得:
,则
在中,由正弦定理得:,解得:
(2)连接
在中,由余弦定理得:
又
在中,由余弦定理得:
,即
又
为锐角
,
则四边形面积:
【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用;关键是能够利用余弦定理构造出关于角的正余弦值的方程,结合同角三角函数的平方关系构造方程可求得三角函数值;易错点是忽略角的范围,造成求解错误.
19. (本小题满分12分)已知直线:与:的交点为.
(Ⅰ)求交点的坐标;
(Ⅱ)求过点且平行于直线:的直线方程;
(Ⅲ)求过点且垂直于直线:直线方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)由 解得
所以点的坐标是. ……………4分
(Ⅱ)因为所求直线与平行,
所以设所求直线的方程为 .
把点的坐标代入得 ,得.
故所求直线的方程为. ……………8分
(Ⅲ)因为所求直线与垂直,
所以设所求直线的方程为 .
把点的坐标代入得 ,得.
故所求直线的方程为 . ……………12分
略
20. 已知实数x满足32x﹣4﹣?3x﹣1+9≤0,且.
(1)求实数x的取值范围;
(2)求f(x)的最大值和最小值,并求此时x的值.
参考答案:
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)转化为二次不等式求解即可.
(2)根据对数的运算法则,化简f(x),利用换元法,转化为二次函数求解值域.
【解答】解:(1)由32x﹣4﹣?3x﹣1+9≤0,
得32x﹣4﹣10?3x﹣2+9≤0,
即(3x﹣2﹣1)(3x﹣2﹣9)≤0,
∴1≤3x﹣2≤9,
∴2≤x≤4,
∴实数x的取值范围
(2)∵=(log2x﹣1)(log2x﹣1)=(log2x﹣1)(log2x﹣2),
设log2x=t,则t∈,
∴f(t)=(t﹣1)(t﹣2)=(t2﹣3t+2)=(t﹣)2﹣,
∵f(t)在上递减,在[,2]上递增,
∴f(x)min=f(t)min=f()=﹣,此时log2x=,解得x=2,
f(x)max=f(t)max=f(1)=f(2)=0,此时当log2x=1或log2x=2,即x=2或x=4时.
21. 已知集合,且,试写出集合A的子集.
参考答案:
由已知,且,
则有,得. 则集合 ……4分
集合A的子集为: ……10分
22. (本小题满分12分)如图,在三棱柱中, 是边长为4的正方形,
平面⊥平面,.
(1)求证: 平面;
(