湖北省荆门市月亮湖中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某人从2011年起,每年1月1日到银行新存入a元(一年定期),若年利率为r保持不变,每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期,到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单位为元)( )
A.a(1+r)5 B.[(1+r)5-(1+r)] C.a(1+r)6 D.[(1+r)6-(1+r)]
参考答案:
B
略
2. 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计图用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示,则下列结论正确的是( )
A. ,且甲比乙成绩稳定 B. ,且乙比甲成绩稳定
C. ,且甲比乙成绩稳定 D. ,且乙比甲成绩稳定
参考答案:
A
【分析】
利用茎叶图求出甲、乙两位同学的平均成绩和方差,分别比较这两个数的大小,可得出结论。
【详解】由茎叶图可知,甲同学成绩的平均数为,
方差为,
乙同学成绩的平均数为,
方差为,则,,
因此,,且甲比成绩稳乙定,故选:A。
【点睛】本题考查茎叶图,考查平均数和方差的计算,在求解有关茎叶图中数据的计算时,先将数据由小到大或由大到小排列,结合相关公式进行计算, 考查计算能力,属于中等题。
4.
△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1,
则的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
解析:如图,连BA1,则AA1=2sin(B+
同理
原式=选A .
5. 设集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,,PA=PD=AB=2,则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为( )
A.2π B.4π C.8π D.12π
参考答案:
D
【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.
【分析】设ABCD的中心为O′,球心为O,则O′B=BD=,设O到平面ABCD的距离为d,则R2=d2+()2=12+(﹣d)2,求出R,即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积.
【解答】解:取AD的中点E,连接PE,
△PAD中,PA=PD=2,,∴PA⊥PD,∴PE=,
设ABCD的中心为O′,球心为O,则O′B=BD=,
设O到平面ABCD的距离为d,则R2=d2+()2=12+(﹣d)2,
∴d=0,R=,
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π.
故选:D.
7. 设l是直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
参考答案:
B
【考点】平面与平面之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命题
【解答】解:A,若l∥α,l∥β,则满足题意的两平面可能相交,排除A;
B,若l∥α,l⊥β,则在平面α内存在一条直线垂直于平面β,从而两平面垂直,故B正确;
C,若α⊥β,l⊥α,则l可能在平面β内,排除C;
D,若α⊥β,l∥α,则l可能与β平行,相交,排除D
故选 B
【点评】本题主要考查了空间线面、面面位置关系,空间线面、面面垂直于平行的判定和性质,简单的逻辑推理能力,空间想象能力,属基础题
8. 由确定的等差数列中,当时,序号等于
A.99 B.100 C.96 D.101
参考答案:
B
略
9. 已知a=21.2,b=()﹣0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】对数的运算性质.
【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵b=()﹣0.2=20.2<21.2=a,
∴a>b>1.
∵c=2log52=log54<1,
∴a>b>c.
故选:C.
10. 下列函数中,是偶函数且在为增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:偶函数仅有B、C,B中函数在是减函数,选C.
考点:1、函数的奇偶性;2、函数的单调性.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一箱苹果,4个4个地数,最后余下1个;5个5个地数,最后余下2个;9个9个地数,最后余下7个,这箱苹果至少有_____个
参考答案:
97
12.
参考答案:
略
13. 函数在上是减函数,则实数a的最小值是 ▲ .
参考答案:
5
14. 对任意两个实数,定义若,,则的最小值为________________.
参考答案:
略
15. 若函数()是偶函数,则实数=
参考答案:
.0
略
16. 函数,给出下列4个命题:
①在区间上是减函数; ②直线是函数图像的一条对称轴;
③函数f(x)的图像可由函数的图像向左平移而得到;
④若,则f(x)的值域是.
其中正确命题序号是 。
参考答案:
①②
17. 直线恒经过定点,则点的坐标为
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,其中点P(1,2)为函数图象的一个最高点,Q(4,0)为函数图象与x轴的一个交点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位得到y=g(x)的图象,求函数h(x)=f(x)?g(x)图象的对称中心.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(Ⅰ)由题意得振幅A,周期T,利用周期公式可求ω,将点P(1,2)代入解析式,结合范围0<φ<,可求φ,即可得解函数解析式.
(Ⅱ)利用三角函数的图象变换可得g(x)=2sinx,利用三角函数恒等变换可求h(x)=1+2sin(x﹣),由,即可得解对称中心.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)由题意得振幅A=2,周期T=4×(4﹣1)=12,
又=12,则ω=…
将点P(1,2)代入f(x)=2sin(x+φ),得sin(x+φ)=1,
∵0<φ<,
∴φ=,…
故f(x)=2sin(x+)…
(Ⅱ)由题意可得g(x)=2sin[(x﹣2)+]=2sinx…
∴h(x)=f(x)?g(x)=4sin(x+)?sinx=2sin2x+2sinx?cosx=1﹣cosx+sinx
=1+2sin(x﹣)…
由,得:.
∴y=h(x)图象的对称中心为:…
19. (16分)我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为元(k为正常数).
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法;函数的值.
【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由解直角三角形,可得矩形AMPN的面积,x∈[10,20],运用二次函数的最值求法,可得值域;
(2)由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2,即可得到所求;
(3)运用基本不等式,计算即可得到所求x=12或18.
【解答】解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°,
∴,
矩形AMPN的面积,x∈[10,20],
由x(30﹣x)≤()2=225,当x=15时,可得最大值为225,
当x=10或20时,取得最小值200,
于是为所求.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1=,
又△ABC的面积为,即草坪造价T2=,
由总造价T=T1+T2,
∴,.
(3)∵,
当且仅当即时等号成立,
此时,解得x=12或x=18,
答:选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.
【点评】本题考查函数模型的运用,考查函数的值域和最值的求法,注意运用函数的单调性和基本不等式,考查运算能力,属于中档题.
20. 已知cos(+x)=,求的值.
参考答案:
【考点】GO:运用诱导公式化简求值.
【分析】由已知可得cosx﹣sinx的值,平方可得sinxcosx的值,化简原式,整体代入化简可得.
【解答】解:∵cos(+x)=,∴(cosx﹣sinx)=,
∴cosx﹣sinx=,平方可得1﹣2sinxcosx=,
∴sinxcosx=,
∴==2sinxcosx=.
21. 已知函数
(1)求的值;(2)解不等式.
参考答案:
解:(1)-----------------------4分
(2)原不等式可化为
① 或②-------------------------7分
解①得-------------------------------------------------------------------8分
解②得---------------------------------------------------------------------10分
综上,原不等式的解集为----------------------------------------------12分
(注:结论没写成集合的不给结果分)
略
22. (本小题满分10分)
过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点、,为坐标原点,的面积等于6,求直线的方程.
参考答案: