河南省濮阳市农业中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},,则(?RA)∩B= ( )
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D.?
参考答案:
C
略
2. 已知是同以平面内的三个单位向量,它们两两之间的夹角均为,且
,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. 或 D.
参考答案:
C
3. 已知,动点满足,则动点的轨迹所包围的图形的面积等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 直线与直线的位置关系是( )
A.平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D.重合
参考答案:
A
5. 已知函数在上单调递减,为其导函数,若对任意都有,则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
∵函数在上单调递减
∴时,
∵对任意都有
∴,且
令,则
∴,即
∵,
∴选项,,不一定成立
由以上分析可得
故选D
6. 已知,则等于( )
A B C D
参考答案:
D
略
7. 若的导函数为,则数列的前n项和为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 下列命题错误的是
A.命题“若则”的逆否命题为“若则”
B.若为假命题,则均为假命题
C.命题存在使得,则任意都有
D.“x>2”是“”的充分不必要条件
参考答案:
B
略
9. “”是“函数在内存在零点”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
解:当函数在内存在零点时,有,
即或,
所以“” 是“函数在内存在零点”的充分而不必要体条件.
故选.
10. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
利用诱导公式,以及二倍角公式,即得解.
【详解】由诱导公式:,
再由二倍角公式:
故选:B
【点睛】本题考查了诱导公式,二倍角公式综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分) 已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2﹣4)<2,则实数x的取值范围 .
参考答案:
(﹣,﹣2)∪(2,)
【考点】: 函数单调性的性质.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: 解法一:不等式即 ln(x2﹣4)+<2,令t=x2﹣4>0,不等式即lnt+2t<2 ①.令h(t)=lnt+2t,由函数h(t)的单调性可得x2﹣4<1,从而求得x的范围.
解法二:根据函数f(x)=lnx+2x在定义域(0,+∞)上式增函数,f(1)=2,由不等式可得x2﹣4<1,从而求得x的范围.
解:解法 一:∵函数f(x)=lnx+2x,∴f(x2﹣4)=ln(x2﹣4)+,
∴不等式即 ln(x2﹣4)+<2.
令t=x2﹣4>0,不等式即lnt+2t<2 ①.
令h(t)=lnt+2t,显然函数h(t)在(0,+∞)上是增函数,且h(1)=2,
∴由不等式①可得t<1,即 x2﹣4<1,即x2<5.
由解得﹣<x<﹣2,或2<x<,
故答案为:(﹣,﹣2)∪(2,).
解法二:由于函数f(x)=lnx+2x,∴f(1)=2,
再根据函数f(x)=lnx+2x在定义域(0,+∞)上式增函数,∴由f(x2﹣4)<2可得x2﹣4<1,
求得﹣<x<﹣2,或2<x<,
故答案为:(﹣,﹣2)∪(2,).
【点评】: 本题主要考查函数的单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.
12. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,3,,9的9个小正方形,使得任意相邻(由公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的涂法共有 种。
参考答案:
108
13. 以椭圆的右焦点为圆心作一个圆过椭圆的中心O并交椭圆于M、N,若过椭圆左焦点的直线是圆的切线,则椭圆的右准线与圆的位置关系是_______________.
参考答案:
相交
14. 己知抛物线的参数方程为 (t为参数).焦点为F.准线为 ,直线的参数方程为 (m为参数).若直线 与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,
是,垂足为M,则△AMF的面积是________.
参考答案:
15. 已知二元一次方程组的增广矩阵是,若该方程组无解,则实数的值为___________.
参考答案:
-2
略
16. 右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 .
参考答案:
8
略
17. 设函数若f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 .
参考答案:
3
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用条件先求当x≤0时的函数解析式,再求x≤0时f(x)=x的解的个数;最后求当x>0时方程f(x)=x的解为2.从而得关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.
【解答】解:当x≤0时f(x)=x2+bx+c,
因为f(﹣4)=f(0),f(﹣2)=﹣2,
所以,得:b=4,c=2,
所以当x≤0时f(x)=x2+4x+2,
方程f(x)=x,即x2+3x+2=0,解得两根为:﹣1,﹣2.
当x>0时方程f(x)=x,即x=2.
则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 3.
故答案为:3.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)解关于的不等式.
参考答案:
(Ⅰ)因为是奇函数,所以,解得b=1,
又由,解得a=2.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
由上式易知在(-∞,+∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数在R上是减函数).
又因是奇函数,从而不等式等价于
因是减函数,由上式推得 ,
即解不等式可得
19. 如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,求证:EF∥BC.
参考答案:
证明:如图,连接ED.
因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.…(4分)
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.
所以EF∥BC.…(10分)
考点: 与圆有关的比例线段.
专题: 选作题;立体几何.
分析: 由切线的性质知∠BDE=∠BAD,再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出EF∥BC
解答: 证明:如图,连接ED.
因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.…(4分)
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.
所以EF∥BC.…(10分)
点评: 主要考查的是相似三角形判定和性质的应用,切线的性质,比较简单.
20. 各项均为正数的数列{an}中,前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若恒成立,求k的取值范围;
(3)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.
参考答案:
解:(1)∵,
∴,
两式相减得,
整理得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an﹣an﹣1=2,n≥2,∴{an}是公差为2的等差数列,
又得a1=1,∴an=2n﹣1.
(2)由题意得,
∵,
∴
=…(8分)∴
(3)对任意m∈N+,2m<2n﹣1<22m,则,
而n∈N*,由题意可知,
于是
=,
即.
略
21. (本小题满分12分)如图6,已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=1。
(1)求证:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求证:A1C//平面AB1D;
(3)求二面角B—AB1—D的正切值。
参考答案:
解法一:
证明:(1)因为B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,
所以AD⊥B1B (1分)
因为D为正△ABC中BC的中点,
所以AD⊥BD (2分)
又B1B∩BC=B,
所以AD⊥平面B1BCC1 (3分)
又AD平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1 (4分)
(2)连接A1B,交AB1于E,连DE (5分)
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点 (6分)
又D为BC的中点,所以DE为△A1BC的中位线,
所以DE//A1C (7分)
又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D (8分)
(3)解:过D作DF⊥AB于F,过F作FG⊥AB1于G,连接DG。
因为平面A1ABB1⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A1ABB1。
又AB1平面A1ABB1,所以AB1⊥DF。
又FG⊥AB1,所以AB1⊥平面DFG,所以AB1⊥DG。 (9分)
又AB1⊥FG,所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。 (10分)
因为AA1=AB=1,
所以在正△ABC中,
在 (11分)
所以在 (12分)
解法二:
解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:
(1)证明:由,
得
又BC∩⊥BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1。 (4分)
又AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥B1BCC1 (5分)
(2)证明:连接A1B,交AB1于E,连DE,
因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点,
即 (6分)
又DE平面AB1D,所以A1C//平面AB1D (8分)
(3)解:设平面ABB1的一个法向量为
由 (9分)
设平面AB1D的一个法向量为
由 (10分)
所以 (11分)
所以,
依图可得二面角B—AB1—D的正切值为 (12分)
略
22. 如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,,,,QD⊥平面ABCD,,,.
(1)求证:平面PAB⊥平面QBC;
(2)求该组合体QPABCD的体积.
参考答案:
(1)见解析;(2).
解:(1)证明:∵,,∴,
又∵,∴,
又,,,,
∴,又∵,
∴平面. --------------------------5