湖南省娄底市私立梅苑中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法中正确的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一直线的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两个平面垂直
参考答案:
C
略
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a8=13,且S7=35.则a7=( )
A.11 B.10 C.9 D.8
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a4=5,进而可得a4+a7=13,代入可得答案.
【解答】解:由等差数列的性质可得:
S7===35,解得a4=5,
又a3+a8=a4+a7=13,故a7=8,
故选D
3. 在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3=8,则S5=( )
A.16 B.24 C.32 D.40
参考答案:
D
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由题意和等差数列的求和公式以及性质可得S5=5a3,代值计算可得.
【解答】解:∵等差数列{an}中,Sn为其前n项和,a3=8,
∴S5===5a3=5×8=40
故选:D
4. 两名运动员成绩的标准差分别是,,分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有
A., B.,
C., D.,
参考答案:
B
5. 下列函数在区间(1,2)上有零点的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
6. 圆(x﹣2)2+(y+3)2=1的圆心坐标是( )
A.(2,3) B.(﹣2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3)
参考答案:
D
【考点】圆的标准方程.
【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可.
【解答】解:圆(x﹣2)2+(y+3)2=1的圆心坐标是:(2,﹣3).
故选:D.
7. 已知:,,那么下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
8. 若函数在区间内存在导数,且则 的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 不等式|x-1|<2x的解集为( )
A.(,+∞) B.(,1 C.1,+∞) D.(,1)∪(1,+∞)
参考答案:
A
略
10. 某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
分析:本题根据运动变化的规律即可选出答案.依据该同学出门后一系列的动作,匀速前往对应的图象是上升的直线,匀速返回对应的图象是下降的直线,等等,从而选出答案.
解答:解:根据他先前进了akm,得图象是一段上升的直线,
由觉得有点累,就休息了一段时间,得图象是一段平行于t轴的直线,
由想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了bkm(b<a),得图象是一段下降的直线,
由记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进,得图象是一段上升的直线,
综合,得图象是C,
故选C.
点评:本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识,考查数形结合思想.属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么前15项的和等于 .
参考答案:
210
12. 若直线被两条平行直线与所截得的线段长为,则直线的倾斜角等于______________.
参考答案:
()
略
13. 的最小值为________.
参考答案:
3
略
14. 已知抛物线C:y2=4x的焦点F,点P为抛物线C上任意一点,若点A(3,1),则|PF|+|PA|的最小值为 .
参考答案:
4
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: 设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得.
解答: 解:抛物线C:y2=4x的准线为x=﹣1.
设点P在准线上的射影为D,
则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,
要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小.
当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|最小,为3﹣(﹣1)=4.
故答案为:4.
点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,是解题的关键.
15. 已知,若存在,当时,有,则的最小值为__________.
参考答案:
【分析】
先作出函数的图像,由题意令,则与有两不同交点,求出的范围,再由,求出,将化为,即可求出结果.
【详解】作出函数图像如下:
因为存在,当时,有,
令,则与有两不同交点,
由图像可得,
由得,解得;
所以,
因为,所以当时,取最小值,
即的最小值为
【点睛】本题主要考查函数零点问题,以及二次函数最值问题,通过数形结合与转化的思想,将问题转化为求二次函数最值的问题,即可求解,属于常考题型.
16. (x+2)6的展开式中x3的系数为_____________.
参考答案:
略
17. 命题p:,的否定是:__________.
参考答案:
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结论即可。
【详解】因为全称命题的否定是特称命题,
所以“,”的否定是“”
【点睛】本题考查全称命题的否定形式,属于简单题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知过点A(0,﹣1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=4交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若?=9,其中O为坐标原点,求|MN|.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.
(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx﹣1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解.
【解答】解:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,﹣1)的直线方程:y=kx﹣1,即:kx﹣y﹣1=0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=2.
故由<2,解得:k>;
(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),
由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx﹣1,代入圆C的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=4,
可得(1+k2)x2﹣4(2k+1)x+16=0
∴x1+x2=,x1?x2=,
∴y1?y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
=?k2+k?+1=,
由?=x1?x2+y1?y2=17﹣=9,解得k=2,
故直线l的方程为y=2x﹣1,即2x﹣y﹣1=0.
圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.
所以|MN|=4.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考查学生的计算能力.
19. 在中,、、分别为内角的对边,且
(1)求的大小;
(2)若,判断的形状.
参考答案:
解:(1)由正弦定理得
即∴,∴
(2)由(1)知,∴
∴
∴,∴是等腰三角形
略
20. 解关于x的不等式.
参考答案:
【分析】
分别,,三种情况下去掉绝对值符号得到不等式,从而可求得解集.
【详解】当时,原不等式等价于,解得:
当时,原不等式等价于,解得:
当时,原不等式等价于,解得:
原不等式的解集为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解,通过分类讨论的方式,分别求得不等式在不同区间内的解集,属于常考题型.
21. (本题满分12分)两个人射击,甲射击一次中靶概率是,乙射击一次中靶概率是,
(Ⅰ)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标概率是多少?
(Ⅱ)两人各射击2次,中靶至少3次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?
(Ⅲ)两人各射击5次,是否有99%的把握断定他们至少中靶一次?
参考答案:
22. 如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是AB的中点.
(1)证明:BD1∥平面A1DE
(2)证明:D1E⊥A1D
(3)求二面角D1﹣EC﹣D的正切值.
参考答案:
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LS:直线与平面平行的判定;LX:直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)连结AD1交A1D于O,连结EO,由三角形中位线定理,可得OE∥BD1,进而可由线面平行的判定定理,可得BD1∥平面A1DE
(2)根据正方形的几何特征,可得A1D⊥AD1,由AB⊥平面ADD1A1结合线面垂直的性质可得AB⊥AD1,进而由线面垂直的判定定理可得A1D⊥平面AD1E,再由线面垂直的性质可得D1E⊥A1D
(3)由勾股定理可得CE⊥DE,进而由线面垂直的性质可得CE⊥D1D,由线面垂直的判定定理得到CE⊥平面D1DE,结合D1E⊥平面D1DE,可得∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角.解三角形△D1ED可得二面角D1﹣ED﹣D的正切值.
【解答】证明:(1)连结AD1交A1D于O,连结EO,
则O为AD1的中点,又因为E是AB的中点,
所以OE∥BD1.
又∵OE?平面A1DE,BD1?平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE …(4分)
(2)由题可知:四边形ADD1A1是正方形
∴A1D⊥AD1
又∵AB⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1
∴AB⊥AD1
又∵AB?平面AD1E,AD1?平面A D1E,AB∩AD1=A
∴A1D⊥平面AD1E
又∵D1E?平面AD1E
∴A1D⊥D1E …(8分)
解:(3)在△CED中,CD=2,,
CD2=CE2+DE2
∴CE⊥DE.
又∵D1D⊥平面ABCD,CE?平面ABCD
∴CE⊥D1D
又∵D1D?平面D1DE,DE?平面D1DE,D1D∩DE=D
∴CE⊥平面D1DE
又∵D1E⊥平面D1DE,
∴CE⊥D1E.
∴∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角.
在△D1ED中,∠D1DE=90°,D1D=1,DE=
∴
∴二面角D1﹣ED﹣D的正切值是…(12分)
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质,解答(1)(2)的关键是熟练掌握空间线面关系判定的判定定理,性质和几何特征,解答(3)的关键是判断出∠D1ED是二面角D1﹣ED﹣D的一个平面角.