广东省茂名市第十七高级中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数是纯虚数,则实数a的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.-1
参考答案:
B
2. i是虚数单位,复数 =( )
A.+i B.﹣1+i C.1﹣i D.﹣+i
参考答案:
C
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解: =,
故选:C.
3. 平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是 ( )
A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.正方体
参考答案:
C
4. 已知,则函数的零点的个数为( )个.
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
参考答案:
C
略
5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】计算题.
【分析】根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.
【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,
∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2
∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)
∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)
可得?=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=, =3,
向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,
设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==
故选A
【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱,求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值,着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论,属于基础题.
6. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
参考答案:
D
【考点】椭圆的定义.
【分析】先把椭圆方程整理成标准方程,进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式,求得k的范围.
【解答】解:∵方程x2+ky2=2,即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0<k<1
故选D.
【点评】本题主要考查了椭圆的定义,属基础题.
7. 设函数()满足,,则函数的图像可能是( )
参考答案:
B
8. 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<﹣2 C.a>3或a<﹣2 D.a>3或﹣6<a<﹣2
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.
【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆,建立不等式,即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:由题意,∵方程表示焦点在x轴上的椭圆,
∴a2>a+6>0,解得a>3或﹣6<a<﹣2
∴实数a的取值范围是a>3或﹣6<a<﹣2
故选D.
9. 已知命题 “”,则为
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6>x2,则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,则 _____
参考答案:
4
12. 给出下列四个命题:
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定“?x∈R,cosx≤0”
②a,b,c是空间中的三条直线,a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c
③命题“在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB”;
④若“p∧q”是假命题,则p,q都是假命题;
其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)
参考答案:
①③
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①含有量词的命题的否定,先换量词,再否定结论; ②空间,同时垂直同一直线的两直线不一定平行;
③在△ABC中,若A>B,则a>b,则2RsinA>2RsinB,则sinA>sinB;
④“p∧q”是假命题,则p,q有假命题;
【解答】解:对于①含有量词的命题的否定,先换量词,再否定结论,故①是真命题;
对于②,空间,同时垂直同一直线的两直线不一定平行,故②是假命题;
对于③,在△ABC中,若A>B,则a>b,则2RsinA>2RsinB,则sinA>sinB,故③是真命题;
④“p∧q”是假命题,则p,q有假命题,故④是假命题;
故答案为:①③
13. 若圆M的方程为x2+y2=4,则圆M的参数方程为 .
参考答案:
【考点】圆的参数方程.
【专题】对应思想;坐标系和参数方程.
【分析】根据平方关系可求得出圆M的参数方程.
【解答】解:由cos2α+sin2α=1得,
圆M:x2+y2=4的参数方程可为,
故答案为:.
【点评】本题考查利用平方关系求出圆的参数方程,属于基础题.
14. 设点在直线上,且到原点的距离与到直线的距离相等,则点坐标是 .
参考答案:
或
15. 已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b与b共线,则实数n的值是________.
参考答案:
9
16. 抛物线的弦轴,若,则焦点F到直线AB的距离为 。
参考答案:
2
略
17. 从某校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高,数据的茎叶图如图(单位:cm):若高一年级共有600人,据上图估算身高在1.70m以上的大约有 人.
参考答案:
300
【考点】简单随机抽样.
【分析】由题意,30人中身高在1.70m以上的概率为,即可得出结论.
【解答】解:由题意,30人中身高在1.70m以上的概率为,
∴高一年级共有600人,估算身高在1.70m以上的大约有600×=300人.
故答案为300.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,三个内角A,B,C的对边为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证为等边三角形。
参考答案:
.证明:A,B,C成等差数列得,(3分)
,a,b,c成等比数列及余弦定理得a=c,(8分)
所以为等边三角形
略
19. (12分)如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,设小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?最大值为多少?
参考答案:
考点:
函数模型的选择与应用.3804980
专题:
计算题.
分析:
设小正方形的边长为xcm,则盒子容积为:y=(8﹣2x)?(5﹣2x)?x为三次函数,用求导法,可得x=1时,函数y取得最大值,此时盒子容积最大.
解答:
解:设小正方形的边长为xcm,则x∈(0,);
盒子容积为:y=(8﹣2x)?(5﹣2x)?x=4x3﹣26x2+40x,
对y求导,得y′=12x2﹣52x+40,令y′=0,得12x2﹣52x+40=0,解得:x=1,x=(舍去),
所以,当0<x<1时,y′>0,函数y单调递增;当1<x<时,y′<0,函数y单调递减;
所以,当x=1时,函数y取得最大值18;
所以,小正方形的边长为1cm,盒子容积最大,最大值为18cm3.
点评:
本题考查了简单的三次函数模型的应用,利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题,是中档题.
20. (本小题满分12分)如图,在正方体ABCD中,E、F分别为、中点。
(1)求证:EF//平面ABCD;
(2)求两异面直线BD与所成角的大小。
参考答案:
(1)连接AC,E、F分别为、中点,
又,
…………………………………………………6分
(2)连接,,容易证明四边形是平行四边形,,
两异面直线BD与所成角为,易知是等边三角形,
两异面直线BD与所成角的大小为……………………….…………12分
21. 已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b (a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[-2,4]上的最大值。
参考答案:
略
22. 已知且,求证:
参考答案:
证明:由得
∴……………………………(10分)
当且仅当即时取等号……………………………………………(12分)
略