湖南省岳阳市湘阴县关公潭乡中学2022年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列四个命题:
(1)平行于同一直线的两个平面平行;
(2)平行于同一平面的两条直线平行;
(3)垂直于同一直线的两条直线平行;
(4)垂直于同一平面的两条直线平行.
其中正确命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
A
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】对四个选项逐一分析,找出正确的命题.
【解答】解:对于命题(1),平行于同一直线的两个平面有可能相交;故是假命题;
对于命题(2)平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能;故是假命题;
对于命题(3)垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能;故是假命题;
对于命题(4)垂直于同一平面的两条直线平行,根据线面垂直的性质可以判断两直线平行;故是真命题.
故选A.
2. 已知是抛物线上一动点,F是抛物线的焦点,定点A(4,1),则|PA|+|PF|
的最小值为( )
A 5 B 2 C D
参考答案:
A
略
3. 中,若,则的面积为 ( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
4. 设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间.
【解答】解:由y=f'(x)的图象易得当x<0或x>2时,f'(x)>0,
故函数y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增;
当0<x<2时,f'(x)<0,故函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减;
故选C.
5. 已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a<x<b时有( )
A.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) B.f(x)<g(x) C.f(x)>g(x) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】比较大小常用方法就是作差,构造函数F(x)=f(x)﹣g(x),研究F(x)在给定的区间[a,b]上的单调性,F(x)在给定的区间[a,b]上是增函数从而F(x)>F(a),整理后得到答案.
【解答】解:设F(x)=f(x)﹣g(x),
∵在[a,b]上f'(x)>g'(x),
F′(x)=f′(x)﹣g′(x)>0,
∴F(x)在给定的区间[a,b]上是增函数.
∴当x>a时,F(x)>F(a),
即f(x)﹣g(x)>f(a)﹣g(a)
即f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
故选A.
7. 椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M、N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】设右焦点为F′,连接MF′,NF′,由于|MF′|+|NF′|≥|MN|,可得当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.c==1.把c=1代入椭圆标准方程可得: =1,解得y,即可得出此时△FMN的面积S.
【解答】解:设右焦点为F′,连接MF′,NF′,∵|MF′|+|NF′|≥|MN|,
∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.
由椭圆的定义可得:△FMN的周长的最大值=4a=4.
c==1.
把c=1代入椭圆标准方程可得: =1,解得y=±.
∴此时△FMN的面积S==.
故选:C.
8. 已知在数轴上0和3之间任取一实数x,则使“log2x<1”的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】几何概型.
【分析】以长度为测度,根据几何概型的概率公式即可得到结论.
【解答】解:由log2x<1,得0<x<2,区间长为2,
区间[0,3]长度为3,
所以所求概率为.
故选:A.
9. 在极坐标系中,O为极点,,,则S△AOB=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】∠AOB==.利用直角三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:∠AOB==.
∴S△AOB==5.
故选:D.
10. 函数的定义域是( )
A. [-1,+∞) B. (-∞,0)∪(0,+∞)
C. [-1,0)∪(0,+∞) D. R
参考答案:
C
试题分析:,解得或,表示区间为:,故选C.
考点:函数的定义域
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),则a1= .
参考答案:
2
【考点】数列递推式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】利用递推公式,结合递推思想求解.
【解答】解:∵数列{an}满足:a3=5,an+1=2an﹣1(n∈N*),
∴a2=×(5+1)=3.
a1==2.
故答案为:2.
【点评】本题考查数列的第3项的求法,是基础题,解题时要注意递推思想的合理运用.
12. 执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为________.
参考答案:
略
13. 已知集合,,若,则实数的取值范围为 .
参考答案:
略
14. 已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_______________.
参考答案:
15. 一种报警器的可靠性为%,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 ▲ .
参考答案:
16. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是
参考答案:
略
17. 如果直线l将圆:x2+y2-2x -4y=0平分,且不经过第四象限,则l的斜率的取值范围是
参考答案:
[0,2] 2或-2 (-∞,9]
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知命题p:“方程x2+y2﹣x+y+m=0对应的曲线是圆”,命题q:“双曲线mx2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为60°”.若这两个命题中只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假,再根据真值表进行判断.
【解答】∵命题p:“方程x2+y2﹣x+y+m=0对应的曲线是圆
∴若p真,由△=(﹣1)2+12﹣4m>0得:.
又∵命题q:“双曲线mx2﹣y2=1的两条渐近线的夹角为60°
∴若q真,由于渐近线方程为,
由题,或,得:m=3或.
∵若这两个命题中只有一个是真命题
∴p真q假时,;
p假q真时,m=3.
综上所述,所以实数m的取值范围,
19. (本小题满分12分)如图,PA垂直于矩形 ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点
⑴求证:MN∥平面PAD;
⑵若,求证:MN ⊥平面PCD.
参考答案:
解:⑴证明:取PD中点E,连结AE,EN,则有
故AMNE是平行四边形
∴MN∥AE
又平面平面
所以MN∥平面PAD ----------------------6分
⑵∵PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD,
∴PA⊥AD,又
∴为等腰直角三角形
又E是PD中点
∴AE⊥PD,又AE∥MN
∴MN⊥PD
又ABCD为矩形
∴AB⊥AD
又AB⊥PA,AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD
∵AE平面PAD-
AB⊥AE 又AB∥CD,AE∥MN
∴MN⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴MN⊥平面PCD……………………12分
略
20. (1)已知A=6C,求n的值;
(2)求二项式(1﹣2x)4的展开式中第4项的系数.
参考答案:
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】(1)根据排列公式计算即可;
(2)由二项式的通项得到展开式的第四项为T4=C43(﹣2x)3=﹣32x3,问题得以解决.
【解答】解:(1)由A=6C可得n(n﹣1)(n﹣2)=6×,
即n﹣2=3,
解得n=5;
(2)由二项式的通项得到展开式的第四项为T4=C43(﹣2x)3=﹣32x3,
二项式(1﹣2x)4的展开式中第4项的系数为﹣32.
21. 椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1?k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)利用已知条件求出b,即可求解椭圆方程.
(2)直线l:y=﹣x+1,设AB坐标,联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可.
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A,B,求出斜率,即可;当直线AB的斜率存在时,设其为k,求直线AB:y=k(x﹣1),联立直线与椭圆的方程组,利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可.
【解答】解:(1)∵a=2,又c=1,∴,∴椭圆方程为…
(2)直线l:y=﹣x+1,设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得7x2﹣8x﹣8=0,有,.…
…
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1,),B(1,﹣),
则,,故k1+k2=2.…
当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x﹣1),设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得(4k2+3)x2﹣8k2x+(4k2﹣12)=0,
有,
.…
=…
22. 在中,内角的对边分别为.已知.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
参考答案:
解:(1)∵,
∴由正弦定理有,
即
即,亦即,
∴=2
(2)由(1)有,
∴由及有
,∴
∵,∴
∴的面积.