2022年湖南省怀化市后塘瑶族中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年大合唱节目,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人,剩下的810人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( )
A. 不全相等 B. 均不相等
C. 都相等,且为 D. 都相等,且为
参考答案:
C
【分析】
抽样要保证机会均等,由此得出正确选项.
【详解】抽样要保证机会均等,故从名学生中抽取名,概率为,故选C.
【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法概念,属于基础题.
2. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设a=f(log45),b=f(﹣log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是( )
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
参考答案:
A
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据题意,由函数的奇偶性可得a=f(log45)=f(﹣log45),c=f(0.20.6)=f(﹣0.20.6),分析可得﹣0.20.6>﹣log45>﹣log23,结合函数的单调性可得f(﹣0.20.6)>f(﹣log45)>f(﹣log23),即可得答案.
【解答】解:根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,
则a=f(log45)=f(﹣log45),c=f(0.20.6)=f(﹣0.20.6),
又0.20.6<1<log45<log23,则﹣0.20.6>﹣log45>﹣log23,
因为函数f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,故f(﹣0.20.6)>f(﹣log45)>f(﹣log23),
则有b<a<c,
故选:A.
3. 下面四个不等式解集为的是( )
参考答案:
C
略
4. 命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )
A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆
B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆
C.所有四边形的四个顶点共圆
D.所有四边形的四个顶点都不共圆
参考答案:
A
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”,故选A.
5. 已知映射,其中,对应法则,若对实数,在集合A中不存在元素使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知定义在R上的函数f(x)是周期为3的奇函数,当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,则函数f(x)在区间[0,5]上零点个数为( )
A.0 B.8 C.7 D.6
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的周期性.
【分析】讨论函数在一个周期内的函数解析式,再求零点,再由周期3,确定在区间[0,5]内的零点个数.
【解答】解:由于定义在R上的函数f(x)是周期为3的奇函数,
则当﹣<x<0时,0<﹣x<,由于当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,
则有f(﹣x)=sin(﹣πx)=﹣sinπx,又f(﹣x)=﹣f(x),
即有f(x)=sinπx(﹣<x<0),由于f(0)=0,
则有f(x)=sinπx(﹣),
令sinπx=0,解得,πx=kπ(k∈Z),即x=k,
在﹣时,x=﹣1,0,1,f(x)=0,即一个周期内有3个零点,
在区间[0,5]上,f(0)=0,f(1)=0,f(2)=f(﹣1)=0,f(3)=0,
f(4)=f(1)=0,f(5)=f(2)=0,
则共有6个零点.
故选D.
7. 在△ABC中,角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则角B的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
设公比为,得到三角形三边为,,利用余弦定理和基本不等式,求得,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,在中,角,,所对的边,,成等比数列,
设公比为,则,所以,,
由余弦定理得,
当且仅当时等号成立,
又因为是的内角,所以,所以角的取位范围是,
故选:.
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,以及基本不等式的应用,其中解答中根据题设条件,利用余弦定理和基本不等式,求得是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
8. .已知m,n是两条不同直线,α、β是两个不同平面,下列命题中不正确的是( )
A.若 B.若
C.若 D.若
参考答案:
A
9. 已知,那么的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x﹣3)的定义域为( )
A.[﹣3,﹣1] B.[0,2] C.[2,5] D.[3,5]
参考答案:
D
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】利用复合函数的定义求法直接由0≤x﹣3≤2,即可得函数f(x﹣3)的定义域.
【解答】解:因为函数f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x≤2,由0≤x﹣3≤2,得3≤x≤5,
即函数的定义域为[3,5],
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是_____________.
参考答案:
3 或7
略
12. 若,则
参考答案:
1
13. 在三棱锥O-ABC中,底面为正三角形,各侧棱长相等,点P,Q分别是棱AB,OB的中点,且,则 .
参考答案:
由题意,又,所以平面,所以,所以。
14. 在等差数列中,若,,则的值为__________。
参考答案:
-3
略
15. 设是定义在上的奇函数,当时,为常数),
则 ▲ .
参考答案:
略
16. 已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=3,则f(-1)= .
参考答案:
17. 已知函数f(x)=xm过点(2,),则m= .
参考答案:
﹣1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】将(2,)代入函数f(x),求出m的值即可.
【解答】解:将(2,)代入函数f(x)得: =2m,
解得:m=﹣1;
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图半圆O的直径为4,A为直径MN延长线上一点,且,B为半圆周上任一点,以AB为边作等边△ABC(A、B、C按顺时针方向排列)
(1)若等边△ABC边长为a,,试写出a关于的函数关系;
(2)问为多少时,四边形的面积最大?这个最大面积为多少?
参考答案:
(1);(2)θ=时,四边形OACB的面积最大,其最大面积为.
【分析】
(1)根据余弦定理可求得
(2)先表示出△ABC的面积及△OAB的面积,进而表示出四边形OACB的面积,并化简函数的解析式为正弦型函数的形式,再结合正弦型函数最值的求法进行求解.
【详解】(1)由余弦定理得
则
(2)四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积?OA?OB?sinθ?2?4?sinθ=4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin(θ﹣)
∴当θ﹣=,
即θ=时,四边形OACB的面积最大,其最大面积为.
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解面积最值,其中准确列出面积表达式是关键,考查化简求值能力,是中档题
19. 如图①,,分别是直角三角形边和的中点,,沿将三角形折成如图②所示的锐二面角,若为线段中点.求证:
(1)直线平面;
(2)平面平面.
参考答案:
(1)取中点,连接,
则 , ,所以 ,
所以四边形为平行四边形,所以∥,……4分
又因为,
所以直线平面. ……………………………………………8分
(2)因为,分别和的中点,所以,所以…10分
同理,,
由(1)知,∥,所以
又因为, 所以, ……………………………14分
又因为
所以平面平面. ………………………………………16分
20. 已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。
(1)如果函数在上是减函数,在上是增函数,求的值。
(2)设常数,求函数的最大值和最小值;
(3)当是正整数时,研究函数的单调性,并说明理由
参考答案:
(1)由已知得, ∴ 。
(2)∵, ∴ks5u
于是,当时,函数取得最小值2。,
当1≤c≤2时,函数的最大值是;
当2≤c≤4时,函数的最大值是。
(3)设,
当时,,函数在上是增函数;
当,,函数g(x)在上是减函数。
当n是奇数时,是奇函数,ks5u
函数在上是增函数,在上是减函数。
当n是偶数时,是偶函数。
函数g(x)在上是减函数,在上是增函数.
略
21. 已知函数
(1)写出此函数f(x)的周期、值域; (2)求出f(x)在[0,2]上的单调递增区间;
(3)比较f()与f()的大小;
参考答案:
略
22. 已知函数为偶函数,且函数图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求,及的值.
(2)将函数的图像向右平移个单位,再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求的单调递减区间.
参考答案:
(1),(2)
【分析】
(1)将将函数变形为,利用是偶函数,则有求得,利用函数图像的两相邻对称轴间的距离为,求得 ,进而确定函数,再求.
(2)根据图象变换,函数的图像向右平移个单位,得到,再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到,再求单调区间.
【详解】(1)
因为是偶函数
所以
又因为
又因为函数图像的两相邻对称轴间的距离为.
所以,
所以
所以,
(2)函数的图像向右平移个单位,得到,
再将得到的图像上每个点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,
得到
令
解得
所以的单调递减区间是
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质及图象变换,还考查数形结合的思想及运算求解的能力,属于中档题.