2022-2023学年湖北省黄冈市红安县七里中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】结合函数的图象,由函数的最值求出A,由周期求出ω,再由求出φ的值.
【解答】解:由图可知A=2,,故ω=2,
又,
所以,
故,
又,
所以.
故选:B.
【点评】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于中档题.
2. 设A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B的元素个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
C
略
3. 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大
B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小
C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等
D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关
参考答案:
C
略
4. 把函数的图象向右平移m(其中m>0)个单位,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 函数f(x)=x3﹣2x2﹣x+2的零点是( )
A.1,2,3 B.﹣1,1,2 C.0,1,2 D.﹣1,1,﹣2
参考答案:
B
【考点】函数的零点.
【分析】利用分组分解法可将函数f(x)的解析式分解成f(x)=(x+1)?(x﹣1)?(x﹣2)的形式,根据函数零点与对应方程根的关系,解方程f(x)=0,可得答案.
【解答】解:∵f(x)=x3﹣2x2﹣x+2
=x2(x﹣2)﹣(x﹣2)
=(x2﹣1)?(x﹣2)
=(x+1)?(x﹣1)?(x﹣2)
令f(x)=0
则x=﹣1,或x=1,或x=2
即函数f(x)=x3﹣2x2﹣x+2的零点是﹣1,1,2
故选B
6. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角A等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于
A. -4 B. ±4 C. D.
参考答案:
C
.
8. 已知,且,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=ex关于y轴对称,则 f(x)= ( )。
A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1
参考答案:
D
10. 下列命题中,真命题是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形;B.对角线相等的四边形是矩形;
C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;D.对角线互相垂直的四边形是菱形;
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列{an}的前n项和为Sn,且,则______
参考答案:
5
根据等差数列前项和公式及性质可得:,得,
故答案为.
12. 已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的范围是 .
参考答案:
[,6)
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据分段函数单调性的性质,确定a满足的条件即可求得a的取值范围.
【解答】解:要使函数f(x)是增函数,
则满足,即≤a<6,
故答案为:[,6).
13. 设a是实数.若函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数,但不是偶函数,则函数f(x)的递增区间为 .
参考答案:
〔﹣1,1〕
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题.
【分析】先利用函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数,求得参数a=1或﹣1,利用不是偶函数,确定a=1,从而将函数用分段函数表示,进而可求函数f(x)的递增区间.
【解答】解:由题意得f(﹣x)=﹣f(x),即:|﹣x+a|﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+a|+|x﹣1|
∴a=1或﹣1.
a=﹣1,f(x)=0是偶函数不对,
a=1时,分情况讨论可得,,所以函数f(x)的递增区间为〔﹣1,1〕
故答案为〔﹣1,1〕
【点评】本题的考点是奇偶性与单调性的综合,主要考查利用奇偶函数的定义求参数,考查函数的单调性,关键是参数的确定,从而确定函数的解析式.
14. 已知角a的终边经过点P(5,﹣12),则sina+cosa的值为 .
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】先由两点间的距离公式求出|0P|,再由任意角的三角函数的定义求出sina和cosa的值,最后代入求出式子的值.
【解答】解:由角a的终边经过点P(5,﹣12),得|0P|==13,
∴sina=,cosa=,
故sina+cosa=+=,
故答案为:.
15. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
16. 若,全集,则___________。
参考答案:
解析:
,
17. 已知实数,是与的等比中项,则的最小值是______.
参考答案:
【分析】
通过是与的等比中项得到,利用均值不等式求得最小值.
【详解】实数是与的等比中项,
,解得.
则,当且仅当时,即时取等号.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等比中项,均值不等式,1的代换是解题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知向量,,设(为实数).
(I) 时,若,求的值;
(II)若,求的最小值,并求出此时向量在方向上的投影.
参考答案:
(I) ,
得 ; ……………3分 ……………5分
(II)时,, 当 时, ……………10分
19. (本小题16分)已知二次函数的最小值为1,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的取值范围.
参考答案:
(1)由已知,设,由,得,
故. …………5分
(2)要使函数不单调,
则, ………10分
(3)由已知,即,
化简得.
设,则只要,
而,得.…………16分
20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中,为坐标原点, 、 、三点满足.
(1)求证:、、三点共线;
(2)已知、,
的最小值为,求实数的值.
参考答案:
(1)∵
∴∥ ,又与 有公共点 ,故 、 、三点共线.
………………………………4分
(2) ∵ ,,
∴ ,,
故 ,
从而
…………8分
关于的二次函数的对称轴为 ,
∵, ∴ , 又区间的中点为
1 当,即时, 当时,
由得或 , 又,∴;
② 当,即时, 当时,
由得,又,∴
综上所述:的值为或. ……………14分
21. 已知是同一平面内的三个向量,其中.
(1)若,且,求的坐标;
(2)若,且与的夹角为π,求的值.
参考答案:
(1)或(2)0
【分析】
(1)由可设,再由可得答案。
(2)由数量积的定义可得,代入即可得答案。
【详解】解:(1)由可设,
∵,∴,
∴,∴或
(2)∵与夹角为,∴,
∴.
【点睛】本题考查向量的基本运算,属于简单题。
22. 已知函数f(x)=是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式.
(2)用定义证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数.
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)由奇函数得f(0)=0,求得b,再由已知,得到方程,解出a,即可得到解析式;
(2)运用单调性的定义,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤;
(3)运用奇偶性和单调性,得到不等式f(t﹣1)+f(t)<0即为f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t),
得到不等式组,解出即可.
【解答】(1)解:函数f(x)=是定义在(﹣1,1)上的奇函数,
则f(0)=0,即有b=0,
且f()=,则,解得,a=1,
则函数f(x)的解析式:f(x)=(﹣1<x<1);
(2)证明:设﹣1<m<n<1,则f(m)﹣f(n)=
=,由于﹣1<m<n<1,则m﹣n<0,mn<1,即1﹣mn>0,
(1+m2)(1+n2)>0,则有f(m)﹣f(n)<0,
则f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(3)解:由于奇函数f(x)在(﹣1,1)上是增函数,
则不等式f(t﹣1)+f(t)<0即为f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t),
即有,解得,
则有0<t<,
即解集为(0,).