浙江省台州市坦头中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若圆关于对称,则由点(a,b)向圆C所作切线长的最小值是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
参考答案:
B
2. 若a= b= , 则a,b的关系为( )
A. a < b B. a > b C. a =b D. a+b =0
参考答案:
A
3. 如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图,若主视图中长方形的长为2,宽为1,则该几何体的表面积为( )
A.( +1)π B.( +2)π C.( +3)π D.( +4)π
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体,即可得出该几何体的表面积.
【解答】解:由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体,
∴该几何体的表面积S=π×12+2π×1×1+×2=(3+)π.
故选:C.
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4. 已知函数的图像关于直线对称,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 命题p:|x|<1,命题q:x2+x﹣6<0,则¬p是¬q成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题: 简易逻辑.
分析: 求出命题的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
解答: 解:由|x|<1得﹣1<x<1,由x2+x﹣6<0得﹣3<x<2,
即p:﹣1<x<1,q:﹣3<x<2,则p是q的充分不必要条件,
故答案为:¬p是¬q的必要不充分条件,
故选:B
点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据逆否命题的等价性判断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键.
6.
若纯虚数满足(其中是虚数单位,是实数),则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:C
7. 已知函数的部分图象如图所示,则下面结论错误的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在区间上单调递增
参考答案:
C
8. 设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为
A 6 B 7 C 8 D 23
参考答案:
B
解析:由已知,先作出线性规划区域为一个三角形区域,得到三个交点(2,1)(1,2)(4,5),那么作一系列平行于直线 的平行直线,当过其中点(2,1)时,目标函数最小。
9. 已知全集,集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 将函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,则函数y=g(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+,kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)
参考答案:
C
【考点】三角函数的化简求值;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】首先通过三角函数的恒等变换,变换成正弦型函数,进一步利用平移变换,最后根据正弦型函数的单调性求得结果.
【解答】解:f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位,得到
g(x)=2sin(2x+2φ﹣).
∵g(x)≤|g()|对x∈R恒成立,
∴g()=±1,即2sin(2×+2φ﹣)=±1,
∴φ=kπ+,(k∈Z)
∵0<φ<,
∴φ=,
∴g(x)=2sin(2x+).
令2x+∈[2kπ+,2kπ+π],(k∈Z)
则x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)
故选:C.
【点评】本题考查的知识要点:三角函数的恒等变换,函数图象的平移变换问题,及函数单调区间问题,属于基础题型.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知0<α<,﹣<β<0,cos(α﹣β)=﹣,sinα=,则sinβ的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的余弦函数.
【分析】根据所给的角的范围和角的函数值,利用同角的三角函数之间的关系,写出角的函数值,进行角的变换,用α﹣(α﹣β)代替α,用两角差的正弦公式求出结果.
【解答】解:∵0<α<,﹣<β<0,
∴0<α﹣β<π,
∵cos(α﹣β)=﹣,sinα=,
∴sin(α﹣β)=,cosα=,
∴sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β)=×(﹣)﹣×=﹣,
故答案为:
12. 已知实数a,b满足ab=1,且a>b≥,则的最大值为 .
参考答案:
【考点】有理数指数幂的化简求值.
【分析】由题意,化简==,求出a﹣b的取值范围,从而求的最大值.
【解答】解:由题意,
=,
∵ab=1,a>b≥,
∴0<a﹣b≤﹣=,
∴=
=,
∵y=x+在(0,)上是减函数,
∴≤=.
故答案为:.
13. 若对任意,,(、)有唯一确定的与之对应,称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:
(1)非负性:,当且仅当时取等号;
(2)对称性:;
(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.
今给出个二元函数:①;②;③;④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是__________.
参考答案:
①
略
14. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
参考答案:
12
【分析】由已知中当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,先求出f(﹣2),进而根据奇函数的性质,可得答案.
【解答】解:∵当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=2x3+x2,
∴f(﹣2)=﹣12,
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(2)=12,
故答案为:12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度不大,属于基础题.
15.
两个三口之家,拟乘两艘小游艇一起水上游,每艘游艇最多只能坐4个人,其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇,则不同的乘坐方法共有__________.
参考答案:
答案:48
16. 已知等差数列的公差和首项都不等于0,且成等比数列,则
参考答案:
3
略
17. 某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料:根据该表可得回归方程,据此模型估计,该型号机器使用年限为年的维修费用大约为 万元.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,A为椭圆(a>b>0)上的一个动点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2.当AC垂直于x轴时,恰好|AF1|:|AF2|=3:1.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设,,试判断λ1+λ2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】综合题.
【分析】(1)由|AF1|:|AF2|=3:1,及椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a,可求AF1,AF2,在Rt△AF1F2中,利用勾股定理可求
(2)由(1)可得b=c.椭圆方程为,设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在,则直线AC方程为代入椭圆方程,结合韦达定理可求,从而可求,同理可得,代入可求
【解答】解:(1)当AC垂直于x轴时,|AF1|:|AF2|=3:1,由|AF1|+|AF2|=2a,
得,在Rt△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+(2c)2
解得 e=.…
(2)由e=,则,b=c.
焦点坐标为F1(﹣b,0),F2(b,0),则椭圆方程为,
化简有x2+2y2=2b2.
设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
①若直线AC⊥x轴,x0=b,λ2=1,
∴λ1+λ2=6. …
②若直线AC的斜率存在,则直线AC方程为
代入椭圆方程有(3b2﹣2bx0)y2+2by0(x0﹣b)y﹣b2y02=0.
由韦达定理得:,∴…
所以,
同理可得…
故λ1+λ2=.综上所述:λ1+λ2是定值6.…
【点评】本题主要考查了利用椭圆得性质及椭圆的定义求解椭圆的方程,直线与椭圆的相交中方程思想的应用,这是处理直线与椭圆位置关系的通法,但要注意基本运算的考查
19. 函数,为常数.
(1)当时,求的最大值;
(2)若函数在区间上为单调函数,求的取值范围。
参考答案:
解:(1)当时,,则的定义域为:……1分
. ………………………………………3分
;
在上是增函数,在上是减函数. ……………………………………5分
的最大值为.……………………………………………………………6分
(2).
若函数在区间上为单调函数,
则,或在区间上恒成立.
在区间上恒成立.
即在区间上恒成立. …………………………9分
设
在区间上为增函数.
………………………………11分
只需
. …………………………………………
略
20. (12分)
在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查基本运算能力.
解析:(Ⅰ)在中,,由正弦定理,
.
所以.
(Ⅱ)解:因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是
,
,
.
.
21. 某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.
(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
(1)列出所有可能的抽取结果;
(2)求抽取的2所学校均为小学的概率.
参考答案:
(I)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1
(II)(1)在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为,2所中学分别记为,1所大学记为,则抽取2所学校的所有可能结果为
,,,,共15种.
(2)从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为,共3种,所以
略
22. (本小题满分14分)函数,数列和满足:,,函数的图像在点处的切线在轴上的截距为.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围;
(3)若函数,令函数数列满足:且其中