上海崇明县崇西中学 2022-2023学年高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正方体中,与平面所成角的余弦值为
参考答案:
略
2. 已知函数在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
由正弦型函数的性质,根据函数在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点,得到且,即可求解,得到答案.
【详解】由于,
在当时,第一个最大值出现在,第一个最小值出现在,
第二个最大值出现在,
由于函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点,
所以:,
所以且,解得:且,
故的取值范围是.
故选:C.
3. 如图,在正方体中,异面直线与所成的角为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数的图象是 ( )
A.关于原点成中心对称 B.关于轴成轴对称
C.关于点成中心对称 D.关于直线成轴对称
参考答案:
D
略
5. 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n B.若α∥β,m?α,n?β,则m∥n
C.若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
参考答案:
D
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系;2K:命题的真假判断与应用;LQ:平面与平面之间的位置关系.
【分析】由α⊥β,m?α,n?β,可推得m⊥n,m∥n,或m,n异面;由α∥β,m?α,n?β,可得m∥n,或m,n异面;由m⊥n,m?α,n?β,可得α与β可能相交或平行;由m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β.
【解答】解:选项A,若α⊥β,m?α,n?β,则可能m⊥n,m∥n,或m,n异面,故A错误;
选项B,若α∥β,m?α,n?β,则m∥n,或m,n异面,故B错误;
选项C,若m⊥n,m?α,n?β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错误;
选项D,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正确.
故选D.
6. 设为实数,则与表示同一个函数的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 已知函数,,当时,,的值分别为( )
A. 1 , 0 B. 0 , 0 C. 1 , 1 D. 0 , 1
参考答案:
A
略
8. 在等差数列{an}中,,则( )
A. 5 B. -5 C. 10 D. -10
参考答案:
A
【分析】
由是的等差中项可知.
【详解】因为是的等差中项,
所以,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了等差中项,属于容易题.
9. 已知点,直线l方程为,且直线l与线段AB相交,求直线l的斜率k的取值范围为( )
A. 或 B. 或
C. D.
参考答案:
A
【分析】
先求出线段的方程,得出,在直线的方程中得到,将代入的表达式,利用不等式的性质求出的取值范围。
【详解】易求得线段的方程为,得,
由直线的方程得
,
当时,,此时,;
当时,,此时,。
因此,实数的取值范围是或,故选:A。
【点睛】本题考查斜率取值范围的计算,可以利用数形结合思想,观察倾斜角的变化得出斜率的取值范围,也可以利用参变量分离,得出斜率的表达式,利用不等式的性质得出斜率的取值范围,考查计算能力,属于中等题。
10. 已知直线恒过定点,若点在直线上,则的最小值为
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于任意,函数表示,,中的较大者,则
的最小值是____________________________.
参考答案:
2
12. 关于数列有下列四个判断:
①若成等比数列,则也成等比数列;②若数列{}既是等差数列也是等比数列,则{}为常数列;③数列{}的前n项和为,且,则{}为等差或等比数列;④数列{}为等差数列,且公差不为零,则数列{}中不会有,其中正确判断的序号是______.(注:把你认为正确判断的序号都填上)
参考答案:
②④
略
13. 已知二次函数,若在区间[]上不单调,则的取值范围是
参考答案:
14. 设集合M={(x,y)|y=x2},N={(x,y)|y=2x},则集合M∩N的子集的个数为 个.
参考答案:
8
【考点】交集及其运算.
【分析】结合函数图象即可获得公共元素的个数,再利用集合元素的个数是n时,集合的子集个数为2n 的结论即可获得解答.
【解答】解:由题意可知:y=x2,y=2x在同一坐标系下的图象为:
由图可知集合M∩N的元素个数为3个,
所以集合M∩N的子集的个数为23个,即8个.
故答案为:8.
15. M为z轴上一点,M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,M的坐标为 .
参考答案:
(0,0,﹣3)
【考点】空间两点间的距离公式.
【分析】设出M的坐标,利用M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,建立方程,即可求得M的坐标.
【解答】解:设M(0,0,t),则
∵M到A(1,0,2)、B(1,﹣3,1)的距离相等,
∴1+(t﹣2)2=1+9+(t﹣1)2
∴t=﹣3
∴M的坐标为(0,0,﹣3)
故答案为:(0,0,﹣3)
16.
参考答案:
{5}
略
17. 设A、B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B且xA∩B}.已知A={x|y=},
B={y|y=2x,x>0},则A×B等于 ____________.
参考答案:
[0,1]∪(2,+∞)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设f(x)是定义在R+上的递增函数,且f(xy)=f(x) +f(y)
(1)求证 (2)若f(3)=1,且f(a)>f (a-1)+2,求a的取值范围.
参考答案:
解:(1)因为,所以
(2)因为f(3)=1,f(9)=f(3)+f(3)=2,于是
由题设有 解得
略
19. (本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A的大小;
(2)若,且,求△ABC 的面积.
参考答案:
(1) (2)
20. 已知函数.
(1)求此函数的定义域D,并判断其奇偶性;
(2)是否存在实数a,使f(x)在x∈(1,a)时的值域为(﹣∞,﹣1)?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】(1)利用真数大于0,求此函数的定义域D,利用f(﹣x)=﹣f(x),判断其奇偶性;
(2)由题意f(a)=﹣1,即=,从而得出结论.
【解答】解:(1)由>0,可得x<﹣1或x>1,∴D={x|x<﹣1或x>1};
f(﹣x)=﹣f(x),∴函数f(x)是奇函数;
(2)由题意,函数单调递增,f(a)=﹣1,即=,∵a>1,∴.
21. 已知函数,x∈R.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3,,若向量与共线,求a、b的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示;余弦函数的图象.
【专题】计算题;转化思想;三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用.
【分析】(1)由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为,利用正弦函数的单调性即可解得f(x)的递增区间.
(2)由,解得或,可得C的值,由题意可得sinB﹣2sinA=0,由正弦定理得b=2a,分别由余弦定理,勾股定理即可解得a,b的值.
【解答】解:(1)∵
=2cos(x+﹣+)sin(x+)
=﹣2[sin(x+)cos﹣cos(x+)sin]sin(x+)+
=sin2x+cos2x
=,
∴2k≤2x≤2k,k∈Z,可得解得:k≤x≤kπ﹣,k∈Z,
∴f(x)的递增区间为,k∈Z.
(2)∵,
∴或,解得或.
∵与共线,
∴sinB﹣2sinA=0,
∴由正弦定理可得,即b=2a,①
当时,
∵C=3,∴由余弦定理可得,②
联立①②解方程组可得
当时,
∵c=3,∴由勾股定理可得9=a2+b2,③
联立①③可得,,
综上,,或,.
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理,勾股定理,平面向量共线的性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
22. 如图表示电流 I 与时间t的函数关系式: I =在同一周期内的图象。
(1)根据图象写出I =的解析式;
(2)为了使I =中t在任意-段秒的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数的最小值是多少?
参考答案:
解析:(1)由图知A=300,,
由得
(2)问题等价于,即
,∴正整数的最小值为314。