安徽省六安市姚河中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
，在定义域上递增，又，在定义域上递减，项符合题意，故选C.
2. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
3. 已知M=x2﹣3x+7，N=﹣x2+x+1，则（ ）
A．M＜N B．M＞N
C．M=N D．M，N的大小与x的取值有关
参考答案：
B
【考点】不等式比较大小．
【分析】通过作差求出M﹣N＞0，从而比较出其大小即可．
【解答】解：∵M﹣N=x2﹣3x+7+x2﹣x﹣1=2（x2﹣2x+3）=2（x﹣1）2+4＞0，
故M＞N，
故选：B．
4. 已知数列{an}的前n项和S满足，则（ ）
A. 196 B. 200
C. D.
参考答案：
B
【分析】
已知递推公式再递推一步，得到两个递推公式，相减，对这个式子分类讨论，求出需要的项，然后求值。
【详解】（1）
当时，（2），
（1）-（2）得; ,
当为偶数时，，当时，，
当为奇数时，，时，
。
【点睛】本题考查了数列的递推公式,重点考查了分类讨论思想。
5. 若当时，均有意义，则函数的图像大致是（ ）
参考答案：
B
6. 函数的定义域为 ，递增区间为 。
参考答案：
略
7. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
参考答案：
C
【考点】子集与真子集．
【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，
∴B的子集个数为：23=8个．
故选：C．
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
9. 若关于x的方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是( )
A． B． C．a＜1 D．0＜a＜1
参考答案：
A
10. 若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为( )
A.－4 B. －3 C. －2 D. －1
参考答案：
D
【分析】
由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值。
【详解】由韦达定理得： ， ，所以 ，
由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间
所以，即
因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间
假设 ，则
即
故选D
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）的值等于= ．
参考答案：
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题： 计算题．
分析： 根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点（2，2），代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．
解答： 由图可知函数f（x）的振幅A=2，周期为8，
∴8=
∴ω=
y=2sin（x+φ）
∵函数的图象过点（2，2）
∴2=2sin（2×+φ）=2sin（+φ）=2cosφ
∴cosφ=1
∴φ=2kπ
当k=0时，φ=0
∴三角函数的解析式是y=2sinx
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=2sin+2sin+…+2sin=2+2
故答案为：2+2
点评： 本题考查根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，本题是一个中档题目．
12. 函数y＝的定义域为_____________，值域为_____________.Ｒ，；
参考答案：
13. 方程在区间上的解为___________．
参考答案：
试题分析：
化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
14. 不等式的解集为R,则实数的取值范围是 .
参考答案：
[-2,2]
15. 若由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间为，则实数的值为___________
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
参考答案：
1
16. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
参考答案：
40
17. 设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则等于 ．
参考答案：
考点：
三角函数的周期性及其求法；运用诱导公式化简求值．3259693
专题：
计算题．
分析：
先根据函数的周期性可以得到=f（）=f（），再代入到函数解析式中即可求出答案．
解答：
解：∵，最小正周期为
=f（）=f（）=sin=
故答案为：
点评：
本题主要考查函数周期性的应用，考查计算能力．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案：
（1）设公差为，由已知得解得
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以，
，
，
，
.
19. 如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接OE，由中位线定理可知PA∥OE，故而PA∥面BDE；
（2）由BD⊥OP，BD⊥AC得出BD⊥平面PAC，从而得出平面PAC⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵ABCD是正方形，O是正方形的中心，
∴O是AC的中点，又E是PC的中点，
∴OE∥PA，
又PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC，
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
20. 已知函数对任意满足，，若当时，（且），且．
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域。
参考答案：
（1）；（2）．
略
21. （本小题满分12分）
如图，设A是单位元和x轴正半轴的交点，P、 Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，，，。
（1）求P点坐标；
（2）若Q，求的值。
参考答案：
（I）设则，
所以………………………………………………………4分
（II）因为，所……………………………………8分
所以
……………………………………12分
22. 如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且．
（1）求的值；
（2）设∠AOP=，，四边形OAQP的面积为S，，求f（θ）的最值及此时θ的值．
参考答案：
【考点】三角函数的最值；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（1）依题意，可求得tanα=2，将中的“弦”化“切”即可求得其值；
（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=﹣sin2θ+sinθ；θ∈[，]?≤sinθ≤1，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．
【解答】解：（1）依题意，tanα==﹣2，
∴===﹣10；
（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），
又=+， =，
∴四边形OAQP为菱形，
∴S=2S△OAP=sinθ，
∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴=（1+cosθ，sinθ），
∴?=1+cosθ，
∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）2+sinθ﹣1
=cos2θ+sinθ﹣1
=﹣sin2θ+sinθ，
∵≤sinθ≤1，
∴当sinθ=，即θ=时，f（θ）max=；
当sinθ=1，即θ=时，f（θ）max=﹣1．
【点评】本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．