2022-2023学年吉林省四平市山门镇中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).
试问三角形数的一般表达式为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为( )
A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
参考答案:
A
3. 等差数列中,已知前15项的和,则等于( )
A. B.12 C. D.6
参考答案:
D
略
4. 已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的体积为( )
参考答案:
6. 函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则( )
A、b>0且a<0 B、b=2a<0 C、b=2a>0 D、a,b的符号不定
参考答案:
B
7. 下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线对称,则φ可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由三角函数图象与性质可知,图象关于直线对称,则此时相位必为kπ+,k∈z,由此建立方程求出φ的表达式,再比对四个选项选出正确选项
【解答】解:∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线对称
∴2×+φ=kπ+,k∈z,
∴φ=kπ+,k∈z,当k=0时,φ=,
故选C.
【点评】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正确解答本题,关键是了解函数对称轴方程的特征,及此时相位的特征,由此特征建立方程求参数,熟练掌握三角函数的性质是迅速,准确解三角函数相关的题的关键,
9. 函数 图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 设函数y=x3与的图像的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________.
参考答案:
当截距为0时,直线的方程为,满足题意;
当截距不为0时,设直线的方程为,
把点代入直线方程可得,此时直线方程为.
故答案为.
12. 设数列满足,则为等差数列是为等比数列的---____________条件
参考答案:
充要
13. 数列,若为递增数列,则的取值范围是______.
参考答案:
14. 函数,的值域是_____________.
参考答案:
[0.15]
15. 圆台的上下底面半径分别为1、2,母线与底面的夹角为60°,则圆台的侧面积为
参考答案:
6π
略
16. 若函数的值域为R,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
17. 函数的单调增区间为____▲____.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S=(a2+c2﹣b2).
(1)求角B的大小;
(2)若边b=,求a+c的取值范围.
参考答案:
(1)B=60°(2)
【分析】
(1)由三角形的面积公式,余弦定理化简已知等式可求tanB的值,结合B的范围可求B的值.
(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求a+csin(A),由题意可求范围A∈(,),根据正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】(1)在△ABC中,∵S(a2+c2﹣b2)acsinB,cosB.
∴tanB,
∵B∈(0,π),
∴B.
(2)∵B,b,
∴由正弦定理可得1,可得:a=sinA,c=sinC,
∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin(A)=sinAcosAsinAsin(A),
∵A∈(0,),A∈(,),
∴sin(A)∈(,1],
∴a+csin(A)∈(,].
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知曲线,.
(1)化的方程为普通方程;
(2)若上的点对应的参数为为上的动点,求中点到直线
距离的最小值.
参考答案:
解:(1)由曲线得,
平方相加得,
由得,平方相加得;
(2)由已知得P点坐标为(-4,4),设Q点坐标为(8cosθ,3sinθ),
则M点坐标为,又直线的普通方程为x-2y-7=0,
所以M到直线的距离为
略
20. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:
x
y
﹣1
1
3
1
﹣1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式.
(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)周期为,当时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法.
【专题】计算题;作图题;综合题;转化思想.
【分析】(1)根据表格提供的数据,求出周期T,解出ω,利用最小值、最大值求出A、B,结合周期求出φ,可求函数f(x)的一个解析式.
(2)函数y=f(kx)(k>0)周期为,求出k,,推出的范围,画出图象,数形结合容易求出m的范围.
【解答】解:(1)设f(x)的最小正周期为T,得,
由,得ω=1,
又,解得
令,即,解得,
∴.
(2)∵函数的周期为,
又k>0,∴k=3,
令,∵,∴,
如图,sint=s在上有两个不同的解,则,
∴方程f(kx)=m在时恰好有两个不同的解,则,
即实数m的取值范围是.
【点评】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法,考查作图能力,是基础题.
21. ( 8分)解关于的不等式 ,
参考答案:
略
22. 设是两个不共线的向量,,若A、B、D三点共线,求k的值.
参考答案:
【考点】向量的共线定理.
【分析】利用向量的运算法则求出;将三点共线转化为两个向量共线;利用向量共线的充要条件列出方程;利用平面向量的基本定理列出方程,求出k的值.
【解答】解:∵
若A,B,D三点共线,则共线,
∴
即
由于不共线可得:
故λ=2,k=﹣8