2022-2023学年湖南省衡阳市常宁市烟洲中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点的直线的斜率为,则a等于()
A. -8 B. 10 C. 2 D. 4
参考答案:
B
【分析】
直接应用斜率公式,解方程即可求出的值.
【详解】因为过点的直线的斜率为,所以有,故本题选B.
【点睛】本题考查了直线斜率公式,考查了数学运算能力.
2. 若圆锥的母线长是8,底面周长为6π,则其体积是( )
A. 9π B. 9 C. 3π D. 3
参考答案:
C
【分析】
圆锥的底面周长,求出底面半径,然后求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.
【详解】∵圆锥的底面周长为6π,
∴圆锥的底面半径r=3;
双∵圆锥的母线长l=8,
圆锥的高h==
所以圆锥的体积V==3π,
故选:C.
【点睛】本题考查圆锥的几何性质,解题关键空间问题平面化,在轴截面中明确各量的关系.
3. 空间中,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( )
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
参考答案:
D
略
4. (4分)cos(﹣2040°)=()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 原式先利用偶函数的性质化简,角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果.
解答: 原式=cos2040°=cos(6×360°﹣120°)=cos120°=﹣,
故选:B.
点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
5. 与y=k有4个不同的交点,则k的范围( )
A、(-4,0) B、[0,4] C、[0,4) D、(0,4)
参考答案:
D
6. 已知等差数列满足,则
A.16 B.18 C.22 D.28
参考答案:
C
7. 某校为了了解学生近视的情况,对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计,每个年级都有7个班,如果某个年级的每个班的近视人数都不超过5人,则认定该年级为“学生视力保护达标年级”,这四个年级各班近视学生人数情况统计如下表:
初一年级 平均值为2,方差为2
初二年级 平均值为1,方差大于0
高一年级 中位数为3,众数为4
高二年级 平均值为3,中位数为4
从表中数据可知:一定是“学生视力保护达标年级”的是( )
A. 初一年级 B. 初二年级
C. 高一年级 D. 高二年级
参考答案:
A
【分析】
根据平均值、方差、中位数以及众数的实际意义,即可得出结果.
【详解】能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差;平均值反应数据的平均水平,方差反应数据的波动大小,方差越大,波动越大.
高一年级,知道中位数与众数,不能判断出是否达标,高二年级知道平均数与中位数,也不能判断是否达标;故排除CD;
初二年级,方差大于0,但不确定具体取值,因此初二年级也不能判断是否达标;
初一年级,平均数和方差均为2,满足题意,因为若有一个数据大于5,方差必然大于2.
故选A
8. 圆与直线有公共点,则k的取值范围是:
A B
C D
参考答案:
D
9. 函数在区间上的零点个数是( )
A 3个 B 5个 C 7个 D 9个
参考答案:
A
10. 设,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线l1的方程为,直线l2的方程为,若l1∥l2则实数m的值为 ▲ .
参考答案:
2
∵直线的方程为,直线的方程为,且∥
∴
∴
12. 在中,内角的对边分别为,若的面积
,则 .
参考答案:
13. 不等式的解集为___________.
参考答案:
(-3,2)
14. ;若 。
参考答案:
0、
15. .一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行,那么此四个交点围成的四边形是________.
参考答案:
平行四边形
略
16. 已知函数的定义域是,且满足,如果对于,
都有,则不等式的解集为 (表示成集合)
参考答案:
考点:利用函数性质解不等式
【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时,先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化,周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去,即将函数值的大小转化自变量大小关系
17. 函数()的最小值为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知△ABC的周长为,且
(I)求边AB的长;
(Ⅱ)若△ABC的面积为,求角C的度数.
参考答案:
解:(I)由及正弦定理有
①
又的周长为,即 ②
①代入②得,,即,
所以边的长为1;
(Ⅱ)由,所以,
由(I)
所以,
,
又,所以角.
19. (本小题满分12分)
已知的最大值和最小值.
参考答案:
令,令
,…6分
,∴,………………8分
又∵对称轴,∴当,即,……10分
∴当即x=0时,.………12分
20. (12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点,求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
参考答案:
考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
专题: 立体几何.
分析: (1)要证直线EF∥平面PCD,只需证明EF∥PD,EF不在平面PCD中,PD?平面PCD即可.
(2)连接BD,证明BF⊥AD.说明平面PAD∩平面ABCD=AD,推出BF⊥平面PAD;然后证明平面BEF⊥平面PAD.
解答: 证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF不在平面PCD中,PD?平面PCD
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°.
所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面EBF,所以平面BEF⊥平面PAD.
点评: 本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想象能力,逻辑推理能力,常考题型.
21. A、B两地相距120千米,汽车从A地匀速行驶到B地,速度不超过120千米小时,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元,
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v(千米小时)的函效:并求出当时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小,
参考答案:
(1),当汽车以的速度行驶,能使得全称运输成本最小;
(2).
【分析】
(1)计算出汽车的行驶时间为小时,可得出全程运输成本为,其中,代入,,利用基本不等式求解;
(2)注意到时,利用基本不等式取不到等号,转而利用双勾函数的单调性求解。
【详解】(1)由题意可知,汽车从地到地所用时间为小时,
全程成本为,.
当,时,,
当且仅当时取等号,
所以,汽车应以的速度行驶,能使得全程行驶成本最小;
(2)当,时,,
由双勾函数的单调性可知,当时,有最小值,
所以,汽车应以的速度行驶,才能使得全程运输成本最小。
【点睛】本题考查基本不等式的应用,解题的关键就是建立函数模型,得出函数解析式,并通过基本不等式进行求解,考查学生数学应用能力,属于中等题。
22. 已知集合,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若集合且,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ),……………2分
………5分
(Ⅱ)当集合时满足,符合要求……………….…7分
当集合时满足
综上可知…………………………………10分