河北省承德市官窖中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,
f(x)=,
则关于x的函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A.1﹣2a B.2a﹣1 C.1﹣2﹣a D.2﹣a﹣1
参考答案:
A
【考点】函数的零点.
【分析】函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内y=f(x),y=a的图象交点的横坐标.
作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x≥0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案.
【解答】解:∵当x≥0时,
f(x)=;
即x∈[0,1)时,f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]时,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=a,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)﹣a=0共有五个实根,
最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为6,
∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中间的一个根满足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a,
解得x=1﹣2a,
∴所有根的和为1﹣2a.
故选:A.
2. 下列命题中错误的是: ( )
A.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β;
B.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β;
C.如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β;
D.如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ.
参考答案:
略
3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35 C.49 D.63
参考答案:
C
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6,求出a1+a7的值,然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7,将a1+a7的值代入即可求出.
【解答】解:因为a1+a7=a2+a6=3+11=14,
所以
故选C.
【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式,是一道基础题.
4. 对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】分类讨论.
【分析】由题意分两种情况判断①l?α;②l?α,再由线线的位置关系的定义判断.
【解答】解:对于任意的直线l与平面α,分两种情况
①l在平面α内,l与m共面直线,则存在直线m⊥l或m∥l;
②l不在平面α内,且l⊥α,则平面α内任意一条直线都垂直于l; 若l于α不垂直,
则它的射影在平面α内为一条直线,在平面α内必有直线m垂直于它的射影,则m与l垂直;
若l∥α,则存在直线m⊥l.
故选C.
【点评】本题主要考查了线线及线面的位置关系,利用线面关系的定义判断,重点考查了感知能力.
5. 已知非零向量,满足,且与的夹角为30°,则的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 若实数x,y满足,则的最大值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
参考答案:
B
【分析】
先画出可行域,由z=x-y在y轴上的截距越小,目标函数值越大,得出最优解,再代入目标函数求出最大值。
【详解】:由图可知,可行域为封闭的三角区域,由z=x-y在y轴上的截距越小,目标函数值越大,所以最优解为,所以的最大值为1,故选B。
【点睛】:1、先画出可行域,高中阶段可行域是封闭图形。
2、令目标函数,解得判断目标函数最值的参考直线方程。
3.画出判断目标函数最值的参考直线方程的图像进行上下平移
4.根据参考直线方程的截距大小判断取最值的点
(1)当时截距越大目标函数值越大,截距越小目标函数值越小
(2)当时截距越大目标函数值越小,截距越小目标函数值越大
5.联立方程求点的坐标,求最值。
7. 已知,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 若下列4个等式中,正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
9. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7}, B={3,4,5},
则(uA)∪(uB)= .
参考答案:
{1,2,3,6,7}
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. _______
参考答案:
12. 已知tan(α+β)=3,tan(α+)=2,那么tanβ= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】利用两角和的正切可求得tanα的值,再利用两角差的正切即可求得tanβ=tan的值.
【解答】解:∵tan(α+)=2,
∴=2,
解得tanα=;
又tan(α+β)=3,tan(α+)=2,
∴tanβ=tan= = =.
故答案为:.
【点评】本题考查两角和与差的正切函数,求得tanα=是关键,属于中档题.
13. 在△ABC中,若,则AC= 。
参考答案:
3
14. 已知非零向量满足0,向量的夹角为,且,则向量与的夹角为 .
参考答案:
略
15. 关于 (x∈R),有下列命题: (1)由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;(2)y=f(x)的表达式可改写成; (3)y=f(x)图象关于对称;(4)y=f(x)图象关于对称.其中正确命题的序号为___________________
参考答案:
(2)(3)
16. 计算:________,________.
参考答案:
1
【分析】
根据指数和对数运算的运算法则直接计算可得结果.
【详解】;
本题正确结果:;
17. 如图所示,正方形BCDE的边长为a,已知,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值为;
②AB∥CE;
③;
④平面ABC⊥平面ADC.其中正确的命题序号为 .
参考答案:
①④
【考点】平面与平面垂直的性质.
【分析】在①中,由BC∥DE,知∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角,由此能求出AB与DE所成角的正切值为;在②中,由翻折后的图形知AB与CE是异面直线;在③中,VB﹣ACE=;在④中,由AD⊥平面BCDE,知AD⊥BC,又BC⊥CD,由此推导出平面ABC⊥平面ADC.
【解答】解:∵正方形BCDE的边长为a,已知,将△ABE沿BE边折起,
折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,
∴=,AE=,AD⊥平面BCDE,AD=a,AC=,
在①中,∵BC∥DE,∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角,
∵AB=,BC=a,AC=,∴BC⊥AC,
∴tan∠ABC=,∴AB与DE所成角的正切值为,故①正确;
在②中,由翻折后的图形知AB与CE是异面直线,故②错误;
在③中, =,故③错误;
在④中,∵AD⊥平面BCDE,BC?平面ABC,
∴AD⊥BC,又BC⊥CD,AD∩CD=D,
∴BC?平面ADC,又BC?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确.
故答案为:①④.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)+f(b)”的函数的例子;
(2)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)?f(b)”的函数的例子;
(3)请你举2个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)?f(b)”的函数的例子.
参考答案:
解:(1)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)+f(b)”的函数模型为对数函数模型,
则f(x)=log2x或f(x)=logx满足条件;
(2)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)?f(b)”的函数模型为指数函数模型,则f(x)=2x或f(x)=()x满足条件;
(3)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)?f(b)”的函数模型是幂函数模型,
则f(x)=x2或f(x)=x满足条件
考点:抽象函数及其应用.
专题:转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
分析:根据条件分别判断抽象函数满足的函数模型进行求解即可.
解答:解:(1)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)+f(b)”的函数模型为对数函数模型,
则f(x)=log2x或f(x)=logx满足条件;
(2)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)?f(b)”的函数模型为指数函数模型,则f(x)=2x或f(x)=()x满足条件;
(3)满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a?b)=f(a)?f(b)”的函数模型是幂函数模型,
则f(x)=x2或f(x)=x满足条件;
点评:本题主要考查抽象函数的理解和应用,根据指数函数,对数函数,幂函数的数学模型是解决本题的关键
19. 已知集合,.
分别求,
参考答案:
20. 等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
(Ⅰ)求通项; (Ⅱ)若Sn=242,求n.
参考答案:
解:(Ⅰ)由得方程组
……4分 解得 所以
(Ⅱ)由得方程
……10分 解得
略
21. 已知f(x)是R上的奇函数,当时,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的单调区间.(不需证明,只需写出结果)
参考答案:
解:(1)设,则,,
因为是R上的奇函数,所以,
,
所以,
∴
(2)增区间为(-∞,-1),(1,+∞),减区间为(-1,1).
22. (本小题满分12分)如图5,长方体中,为线段的中点,.
(Ⅰ)证明:⊥平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
参考答案:
(Ⅰ),, 2分
为中点,,
,. 4分
又
⊥平面 6分
(Ⅱ)设点到的距离为,
8分
由(Ⅰ)知⊥平面,
10分
12分