福建省厦门市国际学校2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C. D.
参考答案:
A
2. 设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
截面四边形是平行四边形, 则这样的平面
A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个
参考答案:
解析:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 、, 直线 、 确定了一个平面 .
作与 平行的平面 , 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样的平面 有无数多个.故选 D.
3. 设a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C所对的边(),且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列,那么直线与直线的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合
参考答案:
B
4. 执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】循环结构.
【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,在输入n的值为10后,对i的值域n的值大小加以判断,满足i≤n,
执行,i=i+2,不满足则跳出循环,输出S.
【解答】解:输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,
判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;
判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;
判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;
判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;
判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;
判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.
故选A.
5. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表:
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
参考答案:
A
【详解】由,而,故由独立性检验的意义可知选A
6. 对于数列,定义数列为数列的“差数列”,若,的“差数列”的通项公式为,则数列的通项公式=
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
7. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知△ABC中,,试判断△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
参考答案:
A
9. 某个命题与正整数有关,若当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得
A. 当时,该命题不成立 B. 当时,该命题成立
C. 当时,该命题成立 D. 当时,该命题不成立
参考答案:
D
略
10. 已知函数是定义在上的偶函数,当,则当 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复数的虚部为________.
参考答案:
12. 一物体运动过程中位移h(米)与时间t(秒)的函数关系式为,当t=2秒时的瞬时速度是 (米/秒)。
参考答案:
10
略
13. 平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面AB B1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 .
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,由△CB1D1是正三角形,即可得出m、n所成角.
【解答】解:如图:α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,
可知:n∥CD1,m∥B1D1,
∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.
则m、n所成角的正弦值为:.
故答案为:.
【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
14. 正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_____。
参考答案:
解析: 底面边长为,高为,
15. 三个数的最大公约数是_________________。
参考答案:
解析:
16. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则A= .
参考答案:
30°
【考点】正弦定理.
【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简,代入第一个等式用b表示出a,再利用余弦定理列出关系式,将表示出的c与a代入求出cosA的值,即可确定出A的度数.
【解答】解:将sinC=2sinB利用正弦定理化简得:c=2b,
代入得a2﹣b2=bc=6b2,即a2=7b2,
∴由余弦定理得:cosA===,
∵A为三角形的内角,
∴A=30°.
故答案为:30°
17. 用数学归纳法证明“ ”时,从“”变到 “”时,左边应增乘的因式是
参考答案:
2(2k+1)(其他形式同样给分)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
已知.
(1)当时,判断的奇偶性,并说明理由;
(2)当时,若,求的值;
(3)若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)当时,既不是奇函数也不是偶函数.……2分
∵,∴
所以既不是奇函数,也不是偶函数.………………………………………2分
(2)当时,,
由得 ……………………………2分
即或 ………………………2分
解得
所以或. ………………2分
(3)当时,取任意实数,不等式恒成立,
故只需考虑,此时原不等式变为
即 ………………………………………………………2分
故
又函数在上单调递增,所以;
对于函数
①当时,在上单调递减,,又,
所以,此时的取值范围是. ……………………………………2分
②当,在上,,
当时,,此时要使存在,
必须有 即,此时的取值范围是
综上,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是.
略
19. (本小题满分10分)
已知命题p:命题q:.若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
参考答案:
20. (13分)已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,(I)求证:AC⊥BF;
(II)若二面角F—BD—A的大小为60°,求a的值。
参考答案:
解:以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系,
(1)
(2)平面ABD的法向量
21. 如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由题意将点P (1,)代入椭圆的方程,得到,再由离心率为e=,将a,b用c表示出来代入方程,解得c,从而解得a,b,即可得到椭圆的标准方程;
(2)方法一:可先设出直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求得x1+x2=,,再求点M的坐标,分别表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值;
方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直线FB的方程为,由此方程求得M的坐标,再与椭圆方程联立,求得A的坐标,由此表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值
【解答】解:(1)椭圆C:经过点P (1,),可得①
由离心率e=得=,即a=2c,则b2=3c2②,代入①解得c=1,a=2,b=
故椭圆的方程为
(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1)③
代入椭圆方程并整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=,④
在方程③中,令x=4得,M的坐标为(4,3k),
从而,, =k﹣
注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有==k
所以k1+k2=+=+﹣(+)
=2k﹣×⑤
④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1
又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3
故存在常数λ=2符合题意
方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为
令x=4,求得M(4,)
从而直线PM的斜率为k3=,
联立,得A(,),
则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=
所以k1+k2=+=2×=2k3,
故存在常数λ=2符合题意
22. 已知复数,(,i为虚数单位).
(1)若是纯虚数,求实数a的值;
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)依据
根据题意是纯虚数,
;
(2)根据题意在复平面上对应的点在第四象限,可得
所以,实数的取值范围为