2022年安徽省淮南市第一中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数,则的值为( )
参考答案:
D
解析: ∴
又 ∴
2. 右边的框图的功能是计算表达式的值,
则在①、②两处应填( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 若a,b,c为实数,则下列命题错误的是( )
A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2<b2
C.若a>b>0,则< D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd
参考答案:
B
【考点】R3:不等式的基本性质.
【分析】根据不等式的基本性质,判断每个选项即可
【解答】解:对于A:若ac2>bc2,则a>b,故正确,
对于B:根据不等式的性质,若a<b<0,则a2>b2,故B错误,
对于C:若a>b>0,则>,即>,故正确,
对于D:若a<b<0,c>d>0,则ac<bd,故正确.
故选:B
4. 设集合,,则( )
A B C D
参考答案:
C
5. 已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B.4π C.2π D.
参考答案:
D
【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积.
【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为,
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上,
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R=1
根据球的体积公式,得此球的体积为V=πR3=π.
故选:D.
6. 已知定义在R上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),那么函数f(x)称为“Ω函数”.给出下列函数:
①f(x)=cosx;
②f(x)=2x;
③f(x)=x|x|;
④f(x)=ln(x2+1).
其中“Ω函数”的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据条件可以得到,对于任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,从而得出f(x)在R上为增函数,这样根据余弦函数,指数函数,二次函数,以及对数函数,复合函数的单调性判断每个函数在R上的单调性,从而便可得出“Ω函数”的个数.
【解答】解:对于任意x1,x2∈R,且x1≠x2,x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立;
∴(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恒成立;
∴f(x)在R上为增函数;
①f(x)=cosx在R上没有单调性,∴该函数不是“Ω函数”;
②f(x)=2x在R上为增函数,∴该函数是“Ω函数”;
③;
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0)上单调递增,且02=﹣02;
∴f(x)在R上为增函数,∴该函数是“Ω函数”;
④令x2+1=t,t≥1,则y=lnt在[1,+∞)上单调递增,而t=x2+1在R上没有单调性;
∴f(x)在R上没有单调性,∴该函数不是“Ω函数”;
∴“Ω函数”的个数是2.
故选:B.
【点评】考查增函数的定义,余弦函数、指数函数、二次函数,以及对数函数和复合函数的单调性,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,分段函数单调性的判断.
7. 小明骑车上学,一路匀速行驶,只是在途中遇到了一次交通堵塞,耽搁了一些时间.与以上事物吻合得最好的图象是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【分析】由途中遇到一次交通堵塞,可判断中间有一段函数值没有发生变化,即可得出结论.
【解答】解:骑着车一路以常速行驶,此时为递增的直线,在途中遇到一次交通堵塞,
则这段时间与家的距离必为一定值,故选A.
【点评】本题考查函数的图象,考查数形结合的数学思想,比较基础.
8. 已知函数,若f(a)+f(2)=0,则实数a的值等于
A. B. C.-1 D.-3
参考答案:
BC
9. 在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.x<2 C. D.
参考答案:
C
【考点】正弦定理的应用.
【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系,利用B求得A+C;要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°,则和A互补的角大于135°进而推断出A+B>180°与三角形内角和矛盾;进而可推断出45°<A<135°若A=90,这样补角也是90°,一解不符合题意进而可推断出sinA的范围,利用sinA和a的关系求得a的范围.
【解答】解: ==2
∴a=2sinA
A+C=180°﹣45°=135°
A有两个值,则这两个值互补
若A≤45°,则C≥90°,
这样A+B>180°,不成立
∴45°<A<135°
又若A=90,这样补角也是90°,一解
所以<sinA<1
a=2sinA
所以2<a<2
故选C
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
10. (5分)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足f(2x﹣1)<f()的x取值范围是()
A. (,) B. [,) C. (,) D. [,)
参考答案:
A
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 压轴题.
分析: 由题设条件偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调增加可得出此函数先减后增,以y轴为对称轴,由此位置关系转化不等式求解即可
解答: 解析:∵f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)
∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|),即f(|2x﹣1|)<f(||)
又∵f(x)在区间[0,+∞)单调增加
得|2x﹣1|<,解得<x<.
故选A.
点评: 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,在这里要注意本题与下面这道题的区别:已知函数f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足f(2x﹣1)<的x取值范围是()
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在山脚A测得山顶P的仰角为60°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B,在B处测得山顶P的仰角为75°,则山高h= 米.
参考答案:
150(+)
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】用h表示出BC,AQ,列方程解出h.
【解答】解:CQ=200sin15°=50(﹣),
AQ==h,
BC===(2﹣)h﹣50(3﹣5),
∴h﹣(2﹣)h+50(3﹣5)=200cos15°=50(+),
解得h=150(+).
故答案为:150(+).
12. (5分)已知函数f(x)=,则f(9)+f(0)= .
参考答案:
3
考点: 对数的运算性质.
专题: 计算题.
分析: 利用分段函数分别求得f(9)与f(0)的值,从而计算结果.
解答: ∵函数,
∴f(9)+f(0)=log39+20=2+1=3;
故答案为:3.
点评: 本题考查了分段函数求值以及指数、对数的运算问题,是基础题.
13. 数列{an}满足,当时,,则是否存在不小于2的正整数m,使成立?若存在,则在横线处直接填写m的值;若不存在,就填写“不存在”_______.
参考答案:
70
【分析】
构造数列,
两式与相减可得数列{}为等差数列,求出,让=0即可求出.
【详解】设
两式相减得
又
数列从第5 项开始为等差数列,由已知易得均不为0
所以当n=70的时候成立,故答案填70.
【点睛】如果递推式中出现和的形式,比如,可以尝试退项相减,即让取后,两式作差,和的部分因为相减而抵消,剩下的就好算了。
14. 方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是_______
参考答案:
15. 由下面的茎叶图可知,甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是 .
参考答案:
21,43
根据众数的定义,可以断定甲组数据的众数是21;
从茎叶图中可以发现,其最大值为,其最小值为,所以极差为,
故答案为21,43.
16. 已知,则的值为__________.
参考答案:
【分析】
利用诱导公式将等式化简,可求出的值.
【详解】由诱导公式可得,故答案为:.
【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值,在利用诱导公式处理化简求值的问题时,要充分理解“奇变偶不变,符号看象限”这个规律,考查运算求解能力,属于基础题.
17. 已知函数y=如图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y的程序框图.①处应填写________;②处应填写________.
参考答案:
x<2,y=log2x
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,求的最小值及最大值。
参考答案:
解析:
令
则
而对称轴为
当时,;
当时,
说明:此题易认为时,,最大值不存在,这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。
19. 某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查,按照使用寿命(单位:h),可以把这批电子元件分成第一组[100,200],第二组(200,300],第三组(300,400],第四组(400,500],第五组(500,600],第六组(600,700].由于工作中不慎将部分数据丢失,现有以下部分图表:
分组
[100,200]
(200,300]
(300,400]
(400,500]
(500,600]
(600,700]
频数
B
30
E
F
20
H
频率
C
D
0.2
0.4
G
I
(1)求图2中的A及表格中的B,C,D,E,F,G,H,I的值;
(2)求图2中阴影部分的面积;
(3)若电子元件的使用时间超过300h为合格产品,求这批电子元件合格的概率.
参考答案:
解:(1)由题意可知0.1=A·100,∴A=0.001,(1分)
∵0.1=,∴B=20,又C=0.1,D==0.15,E=0.2×200=40,F=0.4×200=80,
G==0.1,∴H=10,I==0.05. (4分)
(2)阴影部分的面积为0.4+0.1=0.5. (2分)
(3)电子元件的使用时间超过300 h的共有40+80+20+10=150个,
故这批电子元件合格的概率P==.(3分)
20. (本小题满分15分)已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切,与轴交于两点,且.
(1)求圆的标准方程;
(2)过点的直线与圆交于不同的两点,若设点为的重心,当的面积为时,求直线的方程.
备注:的重心的坐标为.[KS5UKS5UKS5U]
参考答案:
(1);(2)或.
[KS5UKS5U]
试题解析:(1)由题意知圆心,且,
由知中,,,则,[KS5UKS5UKS5U]
于是可设圆的方程为
又点到直线的距离为,
所以或(舍),
故圆的方程为.
(2)的面积,所以.
若设,则