浙江省宁波市春晓中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则不等式的解集为( )
A.(-∞, -3] B.[-3,+∞) C. D.
参考答案:
C
设 ,则不等式 等价为 ,作出的图象,如图,由图象可知 时, ,即 时, ,若 ,由 得 ,解得 ,若 ,由 ,得 ,解得 ,综上 ,即不等式的解集为 ,故选C.
2. 等差数列,的前项和分别为,,若,则使为整数的正整数n的取值个数是( )m
A 3 B 4 C 5 D 6
参考答案:
C
略
3. 如图,全集,,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题意得,所以图中阴影部分所表示的集合为,故选C.
4. 下列函数中,图象的一部分如右图所示的是
(A) y=sin (B) y=sin
(C) y=cos (D) y=cos
参考答案:
D
设图中对应三角函数最小正周期为T,从图象看出,T=,
所以函数的最小正周期为π,函数应为y=向左平移了个单位,
即=,选D.
5. 若幂函数的图像过点,则的值为( )
A.1 B.-3 C.±3 D.3
参考答案:
D
6. 直线过点(-1,2)且与直线垂直,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
7. 函数y=log2(x+2)的定义域是( )
A.(﹣∞,﹣2) B.(﹣∞,﹣2] C.(﹣2,+∞) D.[﹣2,+∞)
参考答案:
C
【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求出解集即可.
【解答】解:函数y=log2(x+2),
∴x+2>0,
解得x>﹣2,
∴函数y的定义域是(﹣2,+∞).
故选:C.
8. 无论值如何变化,函数()恒过定点
A B C D
参考答案:
C
9. 在四边形ABCD中,,,,则四边形ABCD的形状是
A.矩形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.梯形
参考答案:
D
因为,,
所以,
所以AD//BC,ADBC
因此四边形为梯形,
10. 函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数,则a的值为( )
A.1 B.3 C.2 D.1或3
参考答案:
C
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】根据指数函数的定义得到关于a的不等式组,解出即可.
【解答】解:由题意得:,
解得:a=2,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面四边形ABCD 中,,则AD=_______.
参考答案:
【分析】
先求出,再求出,再利用余弦定理求出AD得解.
【详解】依题意得中,,故.
在中,由正弦定理可知,,
得.
在中,因为,
故.
则.
在中,由余弦定理可知,,
即.
得.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.
12. lg+2lg2﹣()﹣1= .
参考答案:
﹣1
【考点】对数的运算性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项,利用lg2+lg5=1化简求值.
【解答】解:原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1;
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算;用到了lg2+lg5=1.
13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当时,,其中.
①______;
②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是______.
参考答案:
-1;
【分析】
①运用奇函数的定义,计算即可得到所求值;
②由的图象关于原点对称,可知二次函数的图象与轴有交点,得到,解不等式即可得到所求范围.
【详解】①由题意得:
为上的奇函数
②若的值域为且图象关于原点对称
当时,与轴有交点
解得:或 的取值范围为
故答案为;
【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用,根据函数的值域求解参数范围,涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用,属于中档题.
14. 正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于 .
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角.
【专题】空间角.
【分析】根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论.
【解答】解:连结AC,BD相交于O,
则O为AC的中点,
∵E是PC的中点,
∴OE是△PAC的中位线,
则OE∥,
则OE与BE所成的角即可异面直线BE与PA所成的角,
设四棱锥的棱长为1,
则OE==,OB=,BE=,
则cos==,
故答案为:
【点评】本题考查异面直线所成的角,作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键,属中档题
15. = .
参考答案:
略
16. 设函数的定义域是, 则实数的范围为________
参考答案:
17. 二次函数满足且.则函数的零点是 ;
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知函数 和 (为常数),且对任意,都有恒成立.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设函数满足对任意,都有,且当时,.
若存在,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)取,由,
此时,,
,∴,故;
(Ⅱ)由题设为偶函数,当时,,值域是;
当时,,,其值域是,
∴ 当时,的值域是,
又当时,的值域是,
若存在,使得成立,则.
19. 已知函数.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明其结论;
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
参考答案:
(1)证明见解析;(2)最大值为;小值为
【详解】试题分析:(1)利用单调性的定义,任取,且,比较和0即可得单调性;
(2)由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析:
(1)解:在区间上是增函数.
证明如下:
任取,且,
.
∵,
∴,即.
∴函数在区间上是增函数.
(2)由(1)知函数在区间上是增函数,
故函数在区间上的最大值为,
最小值为.
点睛: 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且(或);(2)作差: ,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:和0比较;
(4)下结论.
20. 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n的样本,并将样本数据分成五组:[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68),再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组,第2组,…,第5组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结果如下表所示.
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的比例
第1组
[18,28)
5
0.5
第2组
[28,38)
18
a
第3组
[38,48)
27
0.9
第4组
[48,58)
x
0.36
第5组
[58,68)
3
0.2
(1)分别求出a,x的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
参考答案:
(1)第1组人数5÷0.5=10,所以n=10÷0.1=100,…
第2组频率为:0.2,人数为:100×0.2=20,所以a=18÷20=0.9,…
第4组人数100×0.25=25,所以x=25×0.36=9,…
(2)第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1,所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人,3人,1人.…
(3)记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A,抽取的6人中,第2组的设为a1,a2,第3组的设为b1,b2,b3,第4组的设为c,则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c).…
其中第2组至少有1人的情况有9种,他们是:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),
(a2,b2),(a2,b3),(a2,c). …
∴P(A)=. …
答:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为.
21. 已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.
参考答案:
(Ⅰ)的递调递增区间为,;单调递减区间为,.(Ⅱ)最小值和最大值分别为-1,.
【分析】
(Ⅰ)根据余弦函数的单调区间为;和,即可求出的单调区间(Ⅱ)当时,,利用余弦函数的图象和性质可求出函数的最大值和最小值.
【详解】(Ⅰ)令,,得,,
令,,得,,
故函数的递调递增区间为,;单调递减区间为,.
(Ⅱ)当时,,
∴当,即时,取得最大值,,
当,即时,取得最小值,,
∴函数在区间上的最小值和最大值分别为-1,.
22. (10分)解不等式:-3<4x-4x2≤0
参考答案:
略