2022年山西省忻州市神堂堡中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)①正相关,②负相关,③不相关,则下列散点图分别反映的变量是()
A. ①②③ B. ②③① C. ②①③ D. ①③②
参考答案:
D
考点: 散点图.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 由图分析得到正负相关即可.
解答: 第一个图大体趋势从左向右上升,故正相关,
第二个图不相关,
第三个图大体趋势从左向右下降,故负相关,
故选D.
点评: 本题考查了变量相关关系的判断,属于基础题.
2. 已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β 。 其中正确命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
3. 已知,则函数的表达式为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 已知,向量与垂直,则实数的值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
解析:向量=(-3-1,2),=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3-1,2)×(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得:=,故选.A。
6. 要得到函数的图像,只需把函数的图像( )
A.向上平移2个单位 B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位
参考答案:
C
略
7. 已知f(x)=,则f[f (﹣3)]等于( )
A.0 B.π C.π2 D.9
参考答案:
B
考点:函数的值.
专题:计算题.
分析:先根据已知函数解析式求出f(﹣3)=0,然后把f(x)=0代入即可求解
解答:解:∵﹣3<0
∴f(﹣3)=0
∴f(f(﹣3))=f(0)=π
故选:B
点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题
8. 已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是( )
A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C
参考答案:
B
【分析】
由集合A,B,C,求出B与C的并集,判断A与C的包含关系,以及A,B,C三者之间的关系即可.
【详解】由题BA,
∵A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},
∴B∪C={小于90°的角}=C,即BC,
则B不一定等于A∩C,A不一定是C的真子集,三集合不一定相等,
故选B.
【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算,熟练掌握象限角,锐角,以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键,是易错题
9. 已知函数f(x)=,若方程f(x)=有三个不同的实根,则实数k的范围是( )
A.(1,2] B.[1,+∞) C.[1,2) D.[1,2]
参考答案:
B
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】把方程f(x)=有三个不同的实根转化为函数y=f(x)的图象与y=有三个不同交点,画出函数图象,数形结合可得,从而求得实数k的范围.
【解答】解:方程f(x)=有三个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与y=有三个不同交点.
作出函数的图象如图:
由图可知:,得k≥1.
∴实数k的范围是[1,+∞).
故选:B.
10. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知,,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的最小正周期为,其中,则= .
参考答案:
10
12. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为 寸.
参考答案:
1.6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.利用体积求出x.
【解答】解:由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得:1,
(5.4﹣x)×3×1+π?( 2)2x=12.6,x=1.6.
故答案为:1.6
13. 已知函数,对于任意的,有如下条件:
①; ②; ③; ④.
其中能使恒成立的条件序号是 .
参考答案:
①④
略
14. 在等腰中,是的中点,则在 方向上的投影是 .
参考答案:
略
15. 已知船在灯塔北偏东处,且船到灯塔的距离为2km,船在灯塔北偏西处,、两船间的距离为3km,则B船到灯塔的距离为____________km
参考答案:
16. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为_______.
参考答案:
解析式为:;因为对一切成立,;
,,由,所以
,解得;
17. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销.得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
根据上表可得回归直线方程中的,据此模型预报单价为10元时的
销量为_______件.
参考答案:
50
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 对于两个定义域相同的函数和,若存在实数, 使,则称函数是由“基函数, ”生成的.
(1)若是由“基函数, ”生成的,求实数的值;
(2)试利用“基函数, ”生成一个函数,且同时满足以下条件:①是偶函数;②的最小值为1.求的解析式.
参考答案:
(1);(2)
试题分析:⑴由已知得,求解即可求得实数的值;
⑵设,则,继而证得是偶函数,可得与的关系,得到函数解析式,设,则由,即可求解的最小值为
解析:(1)由已知得,
即,
得,所以.
(2)设,则.
由,得,
整理得,即,
即对任意恒成立,所以.
所以
.
设,令,则,
改写为方程,
则由,且,得,检验时, 满足,
所以,且当时取到“=”.
所以,又最小值为1,所以,且,此时,
所以.
19. 设函数f(x)=log2(4x)?log2(2x),,
(1)若t=log2x,求t取值范围;
(2)求f(x)的最值,并给出最值时对应的x的值.
参考答案:
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【分析】(1)由对数函数的单调性,结合,我们易确定出t=log2x的最大值和最小值,进而得到t取值范围;
(2)由已知中f(x)=log2(4x)?log2(2x),根据(1)的结论,我们可以使用换元法,将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题,根据二次函数的性质易得答案.
【解答】解:(1)∵∴即﹣2≤t≤2
(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2∴令t=log2x,则,
∴时,当t=2即x=4时,f(x)max=12
20. (本小题满分14分)已知函数,,且对恒成立.
(1)求a、b的值;
(2)若对,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(3)记,那么当时,是否存在区间(),使得函数在区间上的值域恰好为?若存在,请求出区间;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)由得或.于是,当或时,得
∴∴此时,,
对恒成立,满足条件.故.
(2)∵对恒成立,∴对恒成立.
记.∵,∴,
∴由对勾函数在上的图象知当,即时,,∴.
(3)∵,∴,∴,又∵,∴,∴,∴在上是单调增函数,
∴即即 ∵,且,
故:当时,;
当时,;当时,不存在.
21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,|φ|<)的最大值为2,最小值为﹣,周期为π,且图象过(0,﹣).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
参考答案:
【考点】H5:正弦函数的单调性;HW:三角函数的最值.
【分析】(1)利用三角函数的最值求出A,B,利用函数的周期求出ω,利用图象经过的点求出φ,得到函数的解析式.
(2)利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的最大值为2,最小值为﹣,
∴A=,B=.
又∵f(x)=Asin(ωx+φ)+B的周期为π,
∴T==π,即ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ)+.
又∵函数f(x)过(0,﹣),∴﹣=sin φ+,
即sin φ=﹣.
又∵|φ|<,∴φ=﹣,
∴f(x)=sin(2x)+.…8’
(2)令t=2x﹣,则y=sin t+,其增区间为:[2k,2k],k∈Z.
即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z.
解得kπ﹣≤x≤kπ+.
所以f(x)的单调递增区间为[,k],k∈Z.…12’
22. 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点.
(1)|OA|?|OB|最小时,求直线l的方程;
(2)2|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】法一:(1)先求出+=1,根据基本不等式的性质得到ab的最小值,从而求出直线方程;(2)根据基本不等式的性质得到关于a,b的方程组,解出a,b,求出方程即可;法二:(1)设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),(k<0),求出其与坐标轴的交点坐标,表示出|OA|?|OB|,根据基本不等式的性质求出k的值,从而求出直线方程;
(2)表示出2|OA|+|OB|,根据基本不等式的性质求出k的值,求出直线方程即可.
【解答】解:方法 一:设|OA|=a,|OB|=b,则直线l的方程为:
+=1,(a>2,b>1),由已知可得: +=1;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(1)∵2≤+=1,∴ab≥8,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当==,即a=4,b=2时,ab取最小值4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1,即为x+2y﹣4=0.
故|OA|?|OB|最小时,所求直线l的方程为:x+2y﹣4=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由+=1得:2a+b=(2a+b)?(+)=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当,即a=3,b=3时,2a+b取最小值9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1,即x+y﹣3=0.
故@|OA|+|OB|最小时,所求直线l的方程为x+y﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
方法二:设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),(k<0),
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A(2﹣,0)、B(0,1﹣2k).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(1)|OA|?|OB|=(2﹣)?(1﹣2k)=4+(﹣4k)+(﹣)≥4+2=8,
故|OA|?|OB|最小时,所求直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+2y﹣4=0.﹣﹣﹣﹣﹣
(2)2|OA|+|OB|=2(2﹣)+(1﹣2k)=5+(﹣)+(﹣2k)≥5+2=9,
当且仅当﹣=﹣2k,即k=﹣1时取得最小值9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故2|OA|+|OB|最小时,所求直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣