2022年浙江省温州市三溪中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量与的夹角是,且||=1,||=4,则在上的投影为( )
A.﹣ B. C.﹣2 D.2
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】先计算,代入投影公式计算即可.
【解答】解: =1×4×cos=﹣2,
∴在上的投影为||cos<>==﹣.
故选A.
2. 若=(2,1),=(﹣1,3),则=( )
A.2 B.1 C.0 D.﹣1
参考答案:
B
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】利用平面向量的数量积公式求解.
【解答】解:∵=(2,1),=(﹣1,3),
∴=﹣2+3=1.
故选:B.
3. (4分)已知函数y=f (x)在R上是偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),当x1,x2∈且x1≠x2时,,给出如下命题:f(2a﹣x)=f(x)
①f(3)=0
②直线x=﹣6是y=f(x)图象的一条对称轴
③函数y=f(x)在上为增函数
④函数y=f(x)在上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为()
A. ①② B. ②④ C. ①②③ D. ①②④
参考答案:
D
考点: 函数的零点;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数的图象.
专题: 计算题.
分析: ①令x=﹣3,代入f(x+6)=f(x)+f(3),根据函数为偶函数,得到f(3)=0;
②将f(3)=0代入,得到f(x+6)=f(x),故f(x)是周期等于6的周期函数,再由f(x)是偶函数可得,x=﹣6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③根据偶函数f(x)在上为增函数,且周期为6得到函数y=f(x)在上为减函数;
④根据f(3)=0,周期为6,得到f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0,有四个零点.
解答: ①令x=﹣3,则由f(x+6)=f(x)+f(3),函数y=f (x)在R上是偶函数,得f(3)=f(﹣3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0,故①正确.
②由f(3)=0,可得:f(x+6)=f(x),故f(x)是周期等于6的周期函数.
由于f(x)为偶函数,y轴是对称轴,故直线x=﹣6也是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②正确.
③因为当x1,x2∈,x1≠x2时,有 成立,故f(x)在上为增函数,
又f(x)为偶函数,故在上为减函数,又周期为6.故在上为减函数,故③错误.
④函数f(x)周期为6,故f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0,故y=f(x)在上有四个零点,故④正确.
故选 D.
点评: 本题考查了抽象函数的单调性,奇偶性,周期性,综合性比较强,需熟练灵活掌握,属于基础题.
4. 设函数f(x)=,则f(﹣2)+f(log212)=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
参考答案:
C
【考点】函数的值.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】先求f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和.
【解答】解:函数f(x)=,
即有f(﹣2)=1+log2(2+2)=1+2=3,
f(log212)==12×=6,
则有f(﹣2)+f(log212)=3+6=9.
故选C.
【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题.
5. 已知是第二象限角,为其终边上一点且,则的值
A.5 B. C. D.
参考答案:
A
由题意得,解得.
又是第二象限角,
∴.
∴.
∴.选A.
6. 一个几何体的表面展开平面图如图.该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?
A.前;程 B .你;前 C.似;锦 D.程;锦
参考答案:
A
略
7. 若指数函数y=ax(0<a<1)在上的最大值与最小值的差是1,则底数a为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】指数函数单调性的应用.
【专题】计算题.
【分析】根据0<a<1,y=ax在上单调递减,可以求出指数函数y=ax(0<a<1)在上的最大值与最小值,再作差,解方程即可求得结果.
【解答】解:∵0<a<1,y=ax在上单调递减,
故ymax=,ymin=a,
∵数函数y=ax(0<a<1)在上的最大值与最小值的差是1,
∴,解得a=,
故选B.
【点评】此题是中档题.本题主要通过最值,来考查指数函数的单调性.一定记清楚,研究值域时,必须注意单调性.
8. 已知向量∥,则x=( )
A.9 B.6 C.5 D.3
参考答案:
B
略
9. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,下面属于互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个黒球与都是红球 B.至少有一个黒球与都是黒球
C.至少有一个黒球与恰有1个红球 D.恰有2个黒球与恰有2个红球
参考答案:
D
10. 程序框图符号“ ”可用于
A. 输出a=10 B. 赋值a=10 C. 判断a=10 D. 输入a=1
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0,m],值域为[﹣,﹣4],则m的取值范围是 .
参考答案:
[,3]
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据函数的函数值f()=﹣,f(0)=﹣4,结合函数的图象即可求解
【解答】解:∵f(x)=x2﹣3x﹣4=(x﹣)2﹣,
∴f()=﹣,又f(0)=﹣4,
故由二次函数图象可知:
m的值最小为;
最大为3.
m的取值范围是:≤m≤3.
故答案[,3]
12. 设,,若、夹角为钝角,则的取值范围是 ★ ;
参考答案:
13. 已知数列中,,则________
参考答案:
14. 圆的一条经过点的切线方程为______.
参考答案:
【分析】
根据题意,设为,设过点圆的切线为,分析可得在圆上,求出直线的斜率,分析可得直线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案.
【详解】根据题意,设为,设过点圆的切线为,
圆的方程为,则点在圆上,
则,
则直线的斜率,则直线的方程为,变形可得,
故答案为:.
【点睛】本题考查圆的切线方程,注意分析点与圆的位置关系.
15. 设函数f(x)=log2(3﹣x),则函数f(x)的定义域是 .
参考答案:
{x|x<3}
【考点】对数函数的定义域.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】利用对数函数的定义域,令真数大于0即可.
【解答】解:∵f(x)=log2(3﹣x),
∴3﹣x>0,
∴x<3.
∴函数f(x)的定义域是{x|x<3}.
故答案为:{x|x<3}.
【点评】本题考查对数函数的定义域,属于基础题.
16. 对于函数, 存在一个正数,使得的定义域和值域相同, 则非零实数的值为__________.
参考答案:
解析: 若,对于正数,的定义域为,但的值域,故,不合要求.若,对于正数,的定义域为.由于此时,故函数的值域.由题意,有,由于,所以.
17. sin(﹣1740°)= .
参考答案:
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】原式先利用奇函数的性质化简,将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣sin1740°=﹣sin(5×360°﹣60°)=sin60°=,
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)(2015秋?天津校级月考)利用定义判断函数求y=在区间[3,6]上的单调性,并求该函数在[3,6]上的最大值和最小值.
参考答案:
【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据单调性的定义,在区间[3,6]上任取两个变量x1,x2,且x1<x2,通过作差判断y1,y2的关系即可得出该函数在[3,6]上的单调性,而根据单调性即可求出该函数在[3,6]上的最大值,最小值.
【解答】解:设x1,x2∈[3,6],且x1<x2,则:
;
由x1,x2∈[3,6],x1<x2得,x2﹣x1>0,(x1﹣2)(x2﹣2)>0;
∴y1>y2;
∴y=在区间[3,6]上单调递减;
∴该函数在[3,6]上的最大值为,最小值为.
【点评】考查函数单调性的定义,以及根据函数单调性的定义判断函数单调性的过程,以及根据函数单调性求函数的最值.
19. 已知为锐角三角形,,,分别为角,,所对的边,且.
(1)求角.
(2)当时,求面积的最大值.
参考答案:
见解析
()正弦定理:,
∴,
∵,∴.
()余弦定理是:,
∴,
又∵,
∴,
,
当仅当时取得
∴.
20. (12分)在中,,.
(1)求的值;
(2)设的面积,求的长.
参考答案:
解:(1),
(2)
略
21. 设,.
()当时,求,.
()当时,求实数的取值范围.
参考答案:
见解析
解:()当时,或,
,
∴,.
()或,,
∵,
∴,,
故实数的取值范围是:.
22. (12分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P为线段AD(含端点)上一个动点,设,,则得到函数y=f(x).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)对于任意a∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(Ⅰ)画出图形,建立直角坐标系,即得y=f(x)的解析式,代值计算即可
(Ⅱ)通过分类讨论,利用二次函数的单调性即可判断出.
【解答】解:(1)如图所示,建立直角坐标系.
∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),
∴B(0,0),A(﹣2,0),D(﹣1,a),C(0,a).
∵=x,(0≤x≤1).
∴=+x=(﹣2,0)+x(1,a)=(x﹣2,xa),
∴=﹣=(0,a)﹣(x﹣2,xa)=(2﹣x,a﹣xa)
∴y=f(x)=?=(2﹣x,﹣xa)?(2﹣x,a﹣xa)
=(2﹣x)2﹣ax(a﹣xa)
=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.
∴f(1)=a2+1﹣(4+a2)+4=1
(Ⅱ)由y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.
可知:对称轴x0=.
当0<a≤时,1<x0,∴函数f(x)在[0,1]单调递减,因此当x=0时,函数f(x)取得最大值4.
当a>时,0<x0<1,函数f(x)在[0,x0)单调递减,在(x0,1]上单调递增.
又f(0)=4,f(1)=1,
∴f(x)max=f(0)=4.
综上所述函数f(x)的最大值为4
【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.