2022年广东省广州市海珠实验中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设数列为等差数列，首项为，公差为5，则该数列的第8项为（    ） A．31       B．33       C．35       D．37 参考答案： B 2. 若函数y = log| x + a |的图象不经过第二象限，则a的取值范围是（    ） （A）( 0，+ ∞ )，      （B）[1，+ ∞ ])        （C）( – ∞，0 )        （D）( – ∞，– 1 )] 参考答案： D 3. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（       ） A、       B、         C、       D、 参考答案： C 4. 已知函数 ,其中对 恒成立，且，则的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 5. 设集合，则=（      ） A．            B．        C．         D． 参考答案： D 6. 函数f(x)＝x3－3x－3一定有零点的区间是 A．(2，3)         B．(1，2)         C．(0，1)        D．(－1，0) 参考答案： A 略 7. 函数的值域是  （    ）                                     A．R      B．      C．(2，＋∞)       D．(0，＋∞) 参考答案： B 8. 若函数，且的图象过第一、二、三象限，则有（   ） A．     B．     C．,     D．,  参考答案： D 略 9. （5分）如图所示，阴影部分表示的集合是 （） A． （?UB）∩A B． （?UA）∩B C． ?U（A∩B） D． ?U（A∪B） 参考答案： A 考点： Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 集合． 分析： 根据阴影部分对应的集合为A∩?UB． 解答： 由图象可值，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成， ∴对应的集合表示为A∩?UB． 故选：A． 点评： 本题主要考查集合的表示，比较基础． 10. 已知函数，则（   ） （A）其最小正周期为                      （B）其图象关于直线对称 （C）其图象关于点对称                 （D）该函数在区间上单调递增 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，则的最大值为_____ 参考答案： 【分析】 令， 则，则原式可化为，根据函数单调性即可求出最大值. 【详解】令，则 因为， 所以 原式可化为， 因为函数在上是增函数， 所以当时，. 【点睛】本题主要考查了换元法，与的关系，函数的单调性，属于难题. 12. 观察以下各等式：①； ②； ③。 分析上述各式的共同点，写出一个能反映一般规律的等式为_________________________ 参考答案： 13. 如图所示，墙上挂有一块边长为a的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是          ． 参考答案： 14. 下列命题中： ①若，则的最大值为2； ②当时，； ③的最小值为5； ④当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号) 参考答案： ①② 【分析】 根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①若，则的最大值为 ，正确 ②当时， ，时等号成立，正确 ③最小值为， 取 错误 ④当且仅当均为正数时，恒成立 均为负数时也成立. 故答案为① ② 【点睛】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键. 15. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，且AB=6，BC=2，棱锥O﹣ABCD的体积为8，则R=　 　． 参考答案： 4 【考点】球的体积和表面积． 【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径． 【解答】解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半， ∵AB=6，BC=2， ∴r==2， 由矩形ABCD的面积S=AB?BC=12， 则O到平面ABCD的距离为h满足： =8， 解得h=2， 故球的半径R==4， 故答案为：4． 　 16. 已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，计算即可． 【解答】解：向量、满足，它们的夹角为60°， ∴=+2?+ =12+2×1×2×cos60°+22 =7 ∴=． 故答案为：． 17. 某班有学生55人,其中音乐爱好者35人,体育爱好者45人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有  　▲ 　  人. 参考答案： 29   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题13分)    已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2) (1)若m·n＝1，求cos(－x)的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围． 参考答案： 解：(1)∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1， 即sin＋cos＋＝1， ∴sin(＋)＝. ∴cos(－x)＝cos(x－)＝－cos(x＋) ＝－[1－2sin2(＋)] ＝2·()2－1＝－. (2)∵(2a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC. ∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC， ∴2sinAcosB＝sin(B＋C)， ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0， ∴cosB＝，B＝，∴0＜A＜. ∴＜＋＜，＜sin(＋)＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋， ∴f(A)＝sin(＋)＋. 故函数f(A)的取值范围是(1，)．   略 19. 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 参考答案： ∵A∪B＝A，∴B?A. 又A＝{x|－2≤x≤5}， 当B＝时，由m＋1>2m－1， 解得m<2. 当B≠时，则 解得2≤m≤3. 综上可知，m∈(－∞，3]． 20. 设函数，其中，，. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若关于x的方程在时有两个不同的解，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）单调递增区间为，.（2） 【分析】 （1）由，结合辅助角公式可整理出；令，，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用的范围可确定，可判断出函数的单调性；将问题转变为，与有两个不同交点，结合函数图象可求得范围. 【详解】（）由题意得： 当，，即，时， 单调递增 的单调递增区间为：， （2）当时， 当时，单调递增；当时，单调递减 ，且， 在时有两个不同的解，即，与有两个不同交点 结合图象可知，当时，与有两个不同交点 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是将问题转化为交点个数的问题，通过自变量的取值范围求得函数的值域和单调性，结合函数图象可求得结果. 21. (本题10分) 若且，解关于的不等式 参考答案： 略 22. lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=0 参考答案： x=－1或x=7