2022-2023学年辽宁省抚顺市第五十六中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在x∈[0,+∞)上为增函数,且f(﹣3)=0,则不等式f(2x﹣1)<0的解集为( )
A.(﹣1,2) B.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣1,+∞)
参考答案:
A
由题意, ,所以 ,故选A。
2. 若,则的终边落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
3. 下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )
A.y=x+ B.y=2x﹣2﹣x C.y=log2|x| D.y=2x+2﹣x
参考答案:
B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】对4个选项,分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:对于A,是奇函数,在定义域内不是增函数,不正确;
对于B,在其定义域内是增函数而且又是奇函数,正确;
对于C,是偶函数,不正确;
对于D,在其定义域内是偶函数,不是增函数,不正确;
故选B.
4. 定义在R上的偶函数满足,且在[-3,-2]上是减函数.若是锐角三角形的两内角,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 若 g (x)= , 则的值为 ( )
A. 1 B. 3 C. 15 D. 30
参考答案:
C
略
6. 某研究小组在一项实验中获得一组关于、之间的数据,将其整理后得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是( )
参考答案:
C
7. 在△ABC中,若3cos A+4cos B=6,4sin B 3sin A=1,则角C为( )
A.30° B. 60°或120° C.120° D. 60°
参考答案:
C
8. sin480°等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:因为,所以选D.
考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.
9. 已知锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
由利用余弦定理,可得,利用正弦定理边化角,消去C,可得,利用三角形是锐角三角形,结合三角函数的有界性,可得
【详解】因为,所以,
由余弦定理得:,
所以,
所以,
由正弦定理得,因为,
所以,
即,
因为三角形是锐角三角形,所以,所以,
所以或,
所以或(不合题意),
因为三角形是锐角三角形,所以,
所以,则,
故选C.
【点睛】这是一道解三角形的有关问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有余弦定理,正弦定理,诱导公式,正弦函数在某个区间上的值域问题,根据题中的条件,求角A的范围是解题的关键.
10. 已知的图象可由的图象向左平移个单位而得到,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=的定义域是_____________.
参考答案:
略
12. 已知是奇函数,当时,,则___________.
参考答案:
略
13. 函数的定义域是 .
参考答案:
14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是 .
参考答案:
设圆锥的母线为,底面半径为则因此圆锥的高是
15. 已知,则的值为
参考答案:
6
16. 在下列结论中,正确的命题序号是 。
(1)若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;
(2)模相等的两个平行向量是相等的向量;
(3)若和都是单位向量,则=;
(4)两个相等向量的模相等。
参考答案:
(4)
略
17. 已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为____.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=lg(mx﹣2x)(0<m<1).
(1)当m=时,求f(x)的定义域.
(2)若f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】(1)将m=代入得到f(x)的解析式,根据解析式要有意义,列出不等式,求解即可得到f(x)的定义域;
(2)将f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,等价为f(x)>0在(﹣∞,﹣1]上恒成立,转化为f(x)min>0,利用f(x)的单调性即可求出f(x)的最小值,从而列出不等式,求解即可得到m的取值范围.
【解答】解:(1)当m=时,f(x)=lg[()x﹣2x],
∴()x﹣2x>0,即2﹣x>2x,
∴﹣x>x,即x<0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x<0};
(2)设x2<0,x1<0,且x2>x1,
∴x2﹣x1>0,
令g(x)=mx﹣2x,
∴g(x2)﹣g(x1)=mx2﹣2x2﹣mx1+2x1=mx2﹣mx1+2x1﹣2x2,
∵0<m<1,x1<x2<0,
∴mx2﹣mx1<0,2x1﹣2x2<0,
∴g(x2)﹣g(x1)<0,即g(x2)<g(x1),
∴lg(g(x2))<lg(g(x1)),
∴lg(g(x2))﹣lg(g(x1))<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1]上是单调递减函数,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值为f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1),
∵f(x)在(﹣∞,﹣1]上恒取正值,即f(x)>0在(﹣∞,﹣1]上恒成立,
∴f(x)min>0,
∴f(﹣1)=lg(m﹣1﹣2﹣1)>0,即m﹣1﹣2﹣1>1,
∴>1+=,
∵0<m<1,
∴0<m<,
故m的取值范围为0<m<.
19. (本小题满分12分)
已知函数()
(1) 若,求实数的值并计算的值;
(2) 若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(3) 当时,设,是否存在实数使为奇函数。若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
参考答案:
(1)∵,∴,即,∴
∴,∴
(2)∵,即,
亦即对任意的恒成立,设
∵,
∴在时是增函数,所以
∴即可。
(3)∵,∴
∴
方法一:
∵是奇函数,且,∴
∴,∴,即,所以。
当时,, ∵,
∴是奇函数。
故存在,使是奇函数。
方法二:
∵是奇函数,∴,令
即
∴
∴,即,即,即。
方法三:【这种做法也给分】
当时,,
∵,∴是奇函数。
所以存在,使是奇函数。
略
20. 已知函数(且)是奇函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若,,且在上的最小值为1,求实数的值.
参考答案:
(Ⅰ) ∵是定义域为的奇函数,∴,
∴,∴。 …………4分
(Ⅱ)因为,所以
,
令,因为在是增函数,所.
令,
①若,,不合题意;
②若,,解得,因为,
所以;
③若,解得,舍去
综上:. …………10分
21. 设a,b为正数,且a-2ab-9b= 0,求lg(a+ab-6b)-lg(a+4ab+15b)的值.
参考答案:
解析:由a-2ab-9b= 0,得()-2()-9 = 0,
令= x>0,∴x-2x-9 = 0,解得x =1+,(舍去负根),且x= 2x+9,
∴lg(a+ab-6b)-lg(a+4ab+15b) = lg= lg= lg
= lg= lg= lg= lg=-.
22. (本题满分12分)
在直角坐标系中,点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为。
(1)求曲线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。
①以线段为直径的圆过能否过坐标原点,若能求出此时的值,若不能说明理由;
②求四边形面积的取值范围。
参考答案:
(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为. (4分)
(2)①设直线,,其坐标满足
消去并整理得,故. (6分)
以线段为直径的圆过能否过坐标原点,则,即.
而,
于是,化简得,所以. (8分)
②由①,,
将上式中的换为得,
由于,故四边形的面积为,(10分)
令,则,
而,故,故,当直线或的斜率有一个不存在时,另一个斜率为,不难验证此时四边形的面积为,故四边形面积的取值范围是.
略