2022年上海二十一世纪省吾高级中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为( )
A.34 B.35 C.36 D.37
参考答案:
C
2. 幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么,αβ=( )
A.1 B.2 C. D.
参考答案:
A
【考点】函数与方程的综合运用;幂函数的实际应用.
【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标,然后分别代入y=xα,y=xβ求得α,β;最后再求αβ的值即得.
【解答】解:BM=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),所以M
N,分别代入y=xα,y=xβ
故选A.
3. 下列函数中,满足“对任意,(0,),当<时,都有>
的是( )
A.= B. = C . = D
参考答案:
C
解析:依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得C正确。
4. 若函数的定义域是,则函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 设函数的图像过点,其反函数的图像过点,则等于( ).
A 3 B 4 C 5 D 6
参考答案:
B
6. 在等比数列{}中,已知,,则( )
A、1 B、3 C、 D、±3
参考答案:
7. 已知函数 关于的方程,下列四个命题中是假命题的是 ( )
A.存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;
B.存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;
C.存在实数,使得方程恰有6个不同的实根;
D.存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;
参考答案:
D
解析:设时,A答案正确;
当,B答案正确;当时,C答案正确;选D。
8. 函数的值域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 若那么下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知函数f(lgx)定义域是[0.1,100],则函数的定义域是( )
A.[﹣1,2] B.[﹣2,4] C.[0.1,100] D.
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由f(lgx)定义域求出函数f(x)的定义域,再由在f(x)的定义域内求解x的范围得答案.
【解答】解:∵f(lgx)定义域是[0.1,100],即0.1≤x≤100,
∴lg0.1≤lgx≤lg100,即﹣1≤lgx≤2.
∴函数f(x)的定义域为[﹣1,2].
由,得﹣2≤x≤4.
∴函数的定义域是[﹣2,4].
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点M在的内部,,,,,,
则CM的长是___________。
参考答案:
略
12. 设,则满足条件的所有实数a的取值范围为 ;
参考答案:
13. (1)函数的图象必过定点,定点坐标为__________.
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为________.
参考答案:
(1)(-1,-1), (2)[-1,2]
14. 函数的单调增区间为__________________;
参考答案:
15. 在函数y = 2sin(4x+)图象的对称中心中,离原点最近的点的坐标是___________.
参考答案:
16. 在边长为1的正三角形ABC中,设=__________.
参考答案:
略
17. 函数f(x)=log(x2﹣4x﹣5)的单调递减区间为 .
参考答案:
(5,+∞)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】先求出函数的定义域,利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解:要使函数有意义,则x2﹣4x﹣5>0,即x>5或x<﹣1.
设t=x2﹣4x﹣5,则当x>5时,函数t=x2﹣4x﹣5单调递增,
当x<﹣1时,函数t=x2﹣4x﹣5单调递减.
∵函数y=logt,在定义域上为单调递减函数,
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知,
当x>5时,函数f(x)单调递减,
即函数f(x)的递减区间为(5,+∞).
故答案为:(5,+∞)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)设全集,集合,,。
(Ⅰ)求A,,;
(Ⅱ)若求实数的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ); ;
(Ⅱ)可求
故实数的取值范围为:。
19. 设与是两个单位向量,其夹角为60°,且=2+,=﹣3+2.
(1)求?;
(2)求||和||;
(3)求与的夹角.
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;平面向量及应用.
分析: (1)运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(2)运用向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(3)运用向量的夹角公式和夹角的范围,计算即可得到所求值.
解答: 解:(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,
则=1×=,
=(2+)?(﹣3+2)=﹣6+2+?
=﹣6+2+=﹣;
(2)||==
==,
||==
==;
(3)cos<,>===﹣,
由于0≤<,>≤π,
则有与的夹角.
点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向量的夹角公式的运用,考查运算能力,属于基础题.
20. 已知函数 y =sin2x+cos2x,xR
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)求函数y=sin2x+cos2x(xR)的单调递减区间;
(3)该函数的图象可由y=sinx(xR ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
参考答案:
解:(1)、y = sin2x+cos2x=,则当时,Y有最大值2;
(2)、单调递减区间是:
(3)、先将向左平移个单位,再将横坐标缩小为原来的2倍,再将纵坐标伸长为原来的2倍
略
21. 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
﹣5
0
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).
(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.
【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
﹣5
0
且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).
(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,
解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.
【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.
22. 已知二次函数同时满足下列条件:(1)对称轴为直线,(2)的最大值15,(3)的两根的立方和等于17,求的解析式.
参考答案: