上海市长征中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察,函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
2. 已知奇函数的图像关于直线对称,且,则的值为( )
A. 3 B. 0 C. -3 D.
参考答案:
C
【分析】
由函数的图象关于直线对称,可得,再结合为奇函数,求得的值.
【详解】解:由函数的图象关于直线对称,可得,
再结合为奇函数,可得,
求得,
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质,函数的图象的对称性,属于基础题.
3. 已知等比数列{an}的公比是q,首项a1<0,前n项和为Sn,设a1,a4,a3﹣a1成等差数列,若Sk<5Sk﹣4,则正整数k的最大值是( )
A.4 B.5 C.14 D.15
参考答案:
A
【分析】运用等差数列的中项的性质,结合等比数列的定义,可得公比,再由等比数列的求和公式,以及不等式的解法,即可得到所求最大值.
【解答】解:若a1,a4,a3﹣a1成等差数列,
可得2a4=a1+a3﹣a1=a3,
即有公比q==,
由Sk<5Sk﹣4,可得<5?,
由a1<0,化简可得1﹣>5﹣,
即为2k<,可得正整数k的最大值为k为4.
故选:A.
4. 两圆的位置关系是( )
A.相交 B.外切 C.相离 D.内切
参考答案:
B
略
5. 复数=( )
A.i B.-i C.1+ i D.1-i
参考答案:
A
.
6. 对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系,下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图与总体密度曲线无关
B.频率分布直方图就是总体密度曲线
C.样本总量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
参考答案:
D
略
7. 下列说法中,正确的个数是( )
①存在一个实数,使;
②所有的质数都是奇数;
③斜率相等的两条直线都平行;
④至少存在一个正整数,能被5和7整除。
A.1B.2C.3D.4
参考答案:
C 解析:①方程无实根;②2时质数,但不是奇数;③④正确。
8. 已知函数f(x)=ax+b+3(a>0且a≠1)恒过定点(﹣1,4),则b的值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
参考答案:
A
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标.
【解答】解:令x+b=0,x=﹣1时,解得:b=1,
此时f(x)=1+3=4,
故b的值是1,
故选:A.
9. 函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. log2的值为( ).
A.- B. C.- D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则不等式f(x+1)<3的解集是 .
参考答案:
(﹣4,2)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据条件,f(x+1)=f(|x+1|)<3,可得f(|x+1|)=(x+1)2﹣2|x+1|<3,求解不等式即可.
【解答】解:∵函数f(x)为偶函数,
∴f(|x|)=f(x),
∴f(x+1)=f(|x+1|)<3,
∴f(|x+1|)=(x+1)2﹣2|x+1|<3,
∴﹣1<|x+1|<3,
解得﹣4<x<2,
故答案为(﹣4,2).
12. 若cos(65°+α)=,其中α为第三象限角,则cos+sin(α﹣115°)= .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.
【分析】由题意可得65°+α为第四象限角,再利用诱导公式、角三角函数的基本关系求得所给式子的值.
【解答】解:∵cos(65°+α)=,其中α为第三象限角,
∴65°+α为第四象限角.
∴可得:cos+sin(α﹣115°)
=﹣cos(65°+α)﹣sin(65°+α)
=﹣﹣(﹣)
=﹣+
=.
故答案为:.
13. .函数的定义域为___ ▲ .
参考答案:
14. 如图,一不规则区域内,有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.(用分数作答)
参考答案:
【考点】模拟方法估计概率.
【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积,利用面积比可得结论.
【解答】解:∵向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为360颗,
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A,
∴P(A)==,
∴S不规则图形=平方米,
故答案为:.
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
15. (3分)设x>0,则x+的最小值为 .
参考答案:
考点: 基本不等式.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 变形利用基本不等式的性质即可得出.
解答: ∵x>0,
∴x+=x+1+﹣1﹣1=﹣1,当且仅当x=﹣1时取等号.
故答案为:.
点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.
16. 若角,则角所在的象限是 .
参考答案:
第一或第二象限
17. 计算的结果为 ▲ .
参考答案:
5
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若,,且, ,求下列各值.
(1) (2)
参考答案:
解:(1) 且 \
\
(2) 由(1)知
\
或
19. 如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.
参考答案:
【考点】HO:已知三角函数模型的应用问题.
【分析】根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC,进而利用三角形面积公式表示出S(θ)利用两角和公式化简整理后,利用θ的范围确定三角形面积的最大值.
【解答】解:因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ,∴∠OCP=120°.
在△POC中,由正弦定理得
=,∴ =,所以CP=sinθ.
又=,∴OC=sin(60°﹣θ).
因此△POC的面积为
S(θ)=CP?OCsin120°=?sinθ?sin(60°﹣θ)×
=sinθsin(60°﹣θ)=sinθ(cosθ﹣sinθ)
=(sinθcosθ﹣sin2θ)
=(sin2θ+cos2θ﹣)
= [cos(2θ﹣60°)﹣],θ∈(0°,60°).
所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.
20. 已知集合A={︱3<≤7},B={x︱2<<10},C={︱<}
⑴ 求A∪B,(CuA)∩B
⑵ 若A∩C≠,求a的取值范围
参考答案:
解:⑴ ∵A={︱3<≤7}
∴CuA={︱≤3或>7} 2分
又∵B={x︱2<<10} ∴A∪B={x︱2<<10} 5分
(CuA)∩B={︱2<≤3或7<<10} 7分
⑵∵C={︱<}且A∩C≠
∴≥3 7分
21. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
(1)请将上表数据补全,并直接写出函数的解析式;
(2)将函数图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数的图像,求函数的单调减区间.
参考答案:
.解:
(1)
函数的解析式为 ………………………………………6分
(2)函数 ……………………………………8分
令
得
∴函数的单调减区间是…………………………12分
略
22. 已知数列{an}的前n项和为,对任意满足,且,数列{bn}满足,,其前9项和为63.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令,数列{cn}的前n项和为Tn,若存在正整数n,有,求实数a的取值范围;
(3)将数列{an},{bn}的项按照“当n为奇数时,an放在前面;当n为偶数时,bn放在前面”的要求进行“交叉排列”,得到一个新的数列:…,求这个新数列的前n项和Sn.
参考答案:
(1);(2);(3)
试题分析:(1)由已知得数列是等差数列,从而易得,也即得,利用求得,再求得可得数列通项,利用已知可得是等差数列,由等差数列的基本量法可求得;(2)代入得,变形后得,从而易求得和,于是有,只要求得的最大值即可得的最小值,从而得的范围,研究的单调性可得;(3)根据新数列的构造方法,在求新数列的前项和时,对分类:,和三类,可求解.
试题解析:(1)∵,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,
∴,即,
∴,
又,∴.
∵,∴数列是等差数列,
设的前项和为,∵且,
∴,∴的公差为
(2)由(1)知,
∴
,
∴
设,则,
∴数列为递增数列,
∴,
∵对任意正整数,都有恒成立,∴.
(3)数列的前项和,数列的前项和,
①当时,;
②当时,,
特别地,当时,也符合上式;
③当时,.
综上:
考点:等差数列的通项公式,数列的单调性,数列的求和.