吉林省长春市市第四十一中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 要得到的图象只需将的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
因为,所以由y=3sin3x的图象向左平移个单位得到
2. 已知且+=2,则A的值是[ ]
A.7 B.7 C.±7 D.98
参考答案:
B
3. 函数的零点所在的区间为( ).
参考答案:
A
..,满足.
..,.不满足.
...,不满足.
..,.不满足.
4. 数列满足,且.则…( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 已知函数,若均不相等且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知角是第三象限角,那么是( )
A.第一、二象限角 B.第二、三象限角
C.第二、四象限角 D.第一、四象限角
参考答案:
C
考点:象限的范围考查 .
7. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. (5分)已知全集U={0,1,2,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},则集合(?UA)∪B=()
A. {0,2,3,6} B. {0,3,6} C. {1,2,5,8} D. ?
参考答案:
A
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 计算题.
分析: 由全集U及A,求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.
解答: ∵全集∪={0,1,2,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},
∴?UA={0,2,3,6},
则(?UA)∪B={0,2,3,6}.
故选A
点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
9. (5分)已知角α的终边过点P(2x,﹣6),且tanα=﹣,则x的值为()
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣2 D. 2
参考答案:
A
考点: 任意角的三角函数的定义.
专题: 三角函数的求值.
分析: 根据正切函数的定义建立方程即可得到结论.
解答: ∵角α的终边过点P(2x,﹣6),且tanα=﹣,
∴tanα=﹣=,
即2x=8,
即x=3,
故选:A
点评: 本题主要考查三角函数的求值,利用三角函数的定义是解决本题的关键.
10. 设集合U=R,,,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足f()=f()=0,给出以下四个结论:
①ω=3; ②ω≠6k,k∈N*;③φ可能等于; ④符合条件的ω有无数个,且均为整数.
其中所有正确的结论序号是 .
参考答案:
①③
【考点】正弦函数的图象.
【分析】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足,可得ω()=nπ,ω=n(n∈Z),即可得出结论.
【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足,
∴ω()=nπ,∴ω=n(n∈Z),
∴①ω=3正确; ②ω≠6k,k∈N*,不正确;③φ可能等于,正确; ④符合条件的ω有无数个,且均为整数,不正确.
故答案为①③.
【点评】本题考查三角函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
12. 已知函数,且是它的最大值,(其中m、n为常数且)给出下列命题:
①是偶函数; ②函数的图象关于点对称;
③是函数的最小值;
④记函数的图象在轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为,,,,…,则;
⑤.
其中真命题的是_____________.(写出所有正确命题的编号)
参考答案:
① ② ⑤
略
13. 经过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的方程是__________________________.
参考答案:
14. (1+tan17°)(1+tan28°)=______.
参考答案:
2
试题分析:由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,再由tan(17°+28°)==tan45°=1,可得tan17°+tan28°=1﹣tan17°?tan28°,代入原式可得结果.
解:原式=1+tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,又tan(17°+28°)==tan45°=1,
∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°?tan28°,
故 (1+tan17°)(1+tan28°)=2,
故答案为 2.
15. 函数的定义域为_____________.
参考答案:
略
16. 若{1,a,}={0,a2,a+b},则a2015+b2015的值为 .
参考答案:
﹣1
【考点】集合的相等.
【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.
【分析】根据两集合相等,对应元素相同,列出方程,求出a与b的值即可.
【解答】解:∵a∈R,b∈R,且{1,a,}={0,a2,a+b},
∴分母a≠0,
∴b=0,a2=1,且a2≠a+b,
解得a=﹣1;
∴a2015+b2015=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了集合相等的应用问题,也考查了解方程的应用问题,是基础题目.
17. 在,G是其重心,=_______.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)某几何体的三视图如图所示,计算该几何体的体积.
参考答案:
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥组合而成的几何体,计算出底面面积和高,代入柱体和锥体体积公式,可得答案.
解答: 由已知的三视图可得:该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥组合而成的几何体,
它们的底面面积均为4×4=16,
棱锥的高为2,故体积为:×16×2=,
棱柱的高为4,故体积为:4×16=64,
故组合体的体积V=+64=
点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.
19. 函数在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,△ABC为等边三角形.将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后,再向右平移个单位,得到函数的图象.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)利用等边三角形的性质,根据已知,可以求出函数的周期,利用正弦型函数的最小正周期公式求出,最后根据正弦型函数图象的变换性质求出的解析式;
(Ⅱ)根据函数的解析式,原不等式等价于在恒成立,利用换元法,构造二次函数,分类讨论进行求解即可.
【详解】(Ⅰ)点的纵坐标为,为等边三角形,所以三角形边长为2,
所以,解得,所以,
将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后,得到,
再向右平移个单位,得到.
(Ⅱ),
所以,
原不等式等价于在恒成立.
令,,即在上恒成立.
设,对称轴,
当时,即时,,解得,所以;
当时,即时,,解得(舍);
当时,即时,,解得.
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换和性质,考查了利用换元法、构造法解决不等式恒成立问题,考查了数学运算能力.
20. 若的最小值,并求取得最小值时的值.
参考答案:
解:
当且仅当即时等号成立.
21. 设全集.
(1)求;
(2)写出集合A的所有子集.
参考答案:
22. 已知函数f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x),a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
参考答案:
考点: 对数函数的图像与性质;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: (1)由题意可得,从而求定义域;
(2)可判断函数f(x)是奇函数,再证明如下;
(3)当a>1时,由复合函数的单调性及四则运算可得f(x)为增函数,从而求最值.
解答: 解:(1)由题意知,
;
解得,﹣3<x<3;
故函数f(x)的定义域为(﹣3,3);
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下,
函数f(x)的定义域(﹣3,3)关于原点对称;
则f(﹣x)=loga(﹣x+3)﹣loga(3+x)=﹣f(x),
故函数f(x)是奇函数.
(3)当a>1时,由复合函数的单调性及四则运算可得,
f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x)为增函数,
则函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,
故fmax(x)=f(1)=loga2.
点评: 本题考查了函数的定义域,奇偶性,单调性,最值的判断与应用,属于基础题.