山东省聊城市胡屯中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，求的最大值（） A． 2 B． C． D． 参考答案： B 考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 利用圆的参数方程与直线的斜率计算公式转化为直线与圆的相交直线的斜率计算问题即可得出． 解答： ∵x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=9， 令x=2+3cosθ，y=1+3sinθ， 则==+2， 令k=，则k表示直线y=k（x+5）与圆x2+y2=9由公共点， 则≤3，解得， 取k=时，取得最大值+2=． ∴的最大值为． 故选：B． 点评： 本题考查了圆的参数方程、直线的斜率计算公式、直线与圆的相交直线的斜率计算问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2. 已知点（3，1）和（- 4，6）在直线的两侧，则的取值范围是（   ） A. 或             B. 或 C.                  D. 参考答案： D 3. （5分）圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是（） A． 相交 B． 外切 C． 相离 D． 内切 参考答案： A 考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆． 分析： 求出两圆的圆心，根据圆与圆的位置关系的判断即可得到结论． 解答： （x+1）2+（y﹣2）2=1的圆心A（﹣1，2），半径R=1， x2+y2=9的圆心O（0，0），半径r=3， 则|AB|=， ∵3﹣1＜|AB|＜3+1， ∴圆（x+1）2+（y﹣2）2=1与圆x2+y2=9的位置关系是相交， 故选：A． 点评： 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，求出两圆的圆心和半径是解决本题的关键． 4. 已知，，，则三者的大小关系是（   ） A.     B.     C.     D. 参考答案： C 略 5. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（　　） A．      B．      C．       D． 参考答案： A 6. “”是“”的                             （     ）．充分而不必要条件                  ．必要而不充分条件 ．充分必要条件                      ．既不充分也不必要条件 参考答案： 略 7. 在等差数列中，若，则的值为(  ) A. 15 B. 21 C. 24 D. 18 参考答案： D 【分析】 利用等差数列的性质，将等式全部化为的形式，再计算。 【详解】因为，且， 则，所以． 故选D 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题。 8. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（?RA）∩B=（　　） A．A={0，1，2} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1} 参考答案： D 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】化简集合A、求出?RA，再计算（?RA）∩B即可． 【解答】解：A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={﹣2，﹣1，0，1}， 则?RA={x|x≤﹣1}， （?RA）∩B={﹣2，﹣1}． 故选：D． 9.   参考答案： D 10. 若是任意的实数,且,则-------------------------------（    ） A.       B.       C.         D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则          . 参考答案： 1 12. 已知a>0且a≠1，，当x∈(－1,1)时均有f(x)<，则实数a的取值范围是_____________． 参考答案： 略 13. 设全集，， 则                       . 参考答案： 略 14. 函数f（x）=log3（2x﹣1）的定义域为         ． 参考答案： {x|x＞} 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域即可． 【解答】解：∵2x﹣1＞0， ∴x＞， ∴函数的定义域是：{x|x＞}， 故答案为：：{x|x＞}． 【点评】本题考察了函数的定义域问题，考察对数函数的性质，是一道基础题． 15. 若是一次函数，在R上递减，且满足， 则=_______________ 参考答案： 略 16. 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝_______时，l1∥l2． 参考答案： －1 17. 函数在 上不存在反函数，则实数的取值范围为___________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足递推关系，，又. （1）当时，求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}满足不等式恒成立，求m的取值范围； （3）当时，证明. 参考答案： （1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）化简得到，构造所以数列是等比数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据条件，和推出，所以数列为正数，解不等式，化简得到，结合二次函数的性质，当n=1时，m有最小值-3，即可求出m的范围. （3）首先，由（2）可知，时，.然后令，，因为m<1,对进行放缩，得到成立，最后对不等式左右两侧相加证明即可. 【详解】（1）由, 得，又， 数列是以2为首项以2等比数列， ， ； （2）由，而. ，. 恒成立， ，即； （3）由（2）得当时知，， 设，， . ， 故 , . 当n=1时，， 当n时， , 即. 【点睛】本题考查数列的递推公式，等比数列的构造，考查变量分离以及函数的恒成立问题，考查利用放缩法证明不等式，同时考查了整体思想的运用，本题综合性较强，属于难题. 19. 已知，且， （1）求sin（α+β），与与cos（α﹣β）的值； （2）求tan（2α﹣β）的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式，两角差的余弦函数公式即可计算得解． （2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求tanα，tanβ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值，进而利用两角差的正切函数公式即可求值得解． 【解答】解：（1）∵，且， ∴sinα==，cosβ=﹣=﹣， ∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==﹣， cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（﹣）×=． （2）由（1）可得：tan=﹣，tanβ=﹣， 可得：tan2α==﹣， 可得：tan（2α﹣β）===﹣． 20. 已知幂函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由； （3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）． 试题分析：（1）根据幂函数是幂函数，可得，求解的值，即可得到函数的解析式； （2）由函数，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数的取值范围； （3）由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，转化为方程有解问题，即可求解的取值范围． 试题解析： （1）∵为幂函数，∴，∴或． 当时，在上单调递减， 故不符合题意． 当时，在上单调递增， 故，符合题意．∴． （2）， 令．∵，∴，∴，． 当时，时，有最小值， ∴，． ②当时，时，有最小值．∴，（舍）． ③当时，时，有最小值， ∴，（舍）．∴综上． （3）， 易知在定义域上单调递减， ∴，即， 令，， 则，，∴，∴， ∴． ∵， ∴，∴，∴， ∴． ∵，∴，∴， ∴ ．∴． 点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识． 21. 已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，． （Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求f（x）的解析式； （Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值； （Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式； （Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数， 所以f（0）=0． （Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0， 所以． 又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）． 所以． 综上， （Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）． 因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2． 即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立． 方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得． 方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R 则∴ 故实数k的取值范围为． 【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题． 22. 已知函数． (Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间； (Ⅱ)函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，求实数的最小值. 参考答案： （Ⅰ）解：                               ．…………………………………………………………3分 ∴函数的最小正周期为．……………………………………………………4分 由，得． ∴函数的单调递增区间为．………………………6分 （Ⅱ）解：由题意，得 ．……………………………………7分          ∵函数为偶函数，∴， 即，实数的最小值为.…………………………………10分