2022-2023学年江苏省盐城市羽佳中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
D
略
2. 抛物线的焦点坐标为( )
A.(,0) B. (0,) C. (,0) D.(0,-1)
参考答案:
B
略
3. 把38化成二进制数为( )
A.100110 B.101010 C.110100 D.110010
参考答案:
A
4. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,,,b=2,则c等于( )
A. 4 B. 2 C. D.
参考答案:
A
略
5. 以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A.y2=16x B.y2=﹣16x C.y2=8x D.y2=﹣8x
参考答案:
A
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】根据双曲线方程,算出它的右焦点为F(4,0),也是抛物线的焦点.由此设出抛物线方程为y2=2px,(p>0),结合抛物线焦点坐标的公式,可得p=8,从而得出该抛物线的标准方程.
【解答】解析 由双曲线方程﹣=1,可知其焦点在x轴上,由a2=16,得a=4,∴该双曲
线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线的标准方程为y2=
2px(p>0),则由=4,得p=8,故所求抛物线的标准方程为y2=16x.
故选A.
6. 设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴,PF2=,PF2=,从而得到=,由此能求出椭圆的离心率.
【解答】解:∵线段PF1的中点在y轴上
设P的横坐标为x,F1(﹣c,0),
∴﹣c+x=0,∴x=c;
∴P与F2的横坐标相等,∴PF2⊥x轴,
∵∠PF1F2=30°,
∴PF2=,
∵PF1+PF2=2a,∴PF2=,
tan∠PF1F2===,
∴=,∴e==.
故选:A.
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆的简单性质的灵活运用.
7. 方程的两个根可分别作为( )的离心率。
A.椭圆和双曲线 B.两条抛物线 C.椭圆和抛物线 D.两个椭圆
参考答案:
A
8. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点,若线段的中点坐标为,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
9. 函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+) C.y=2sin(﹣) D.y=2sin(2x﹣)
参考答案:
A
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据已知中函数y=Asin(ωx+?)在一个周期内的图象经过(﹣,2)和(﹣,2),我们易分析出函数的最大值、最小值、周期,然后可以求出A,ω,φ值后,即可得到函数y=Asin(ωx+?)的解析式.
【解答】解:由已知可得函数y=Asin(ωx+?)的图象经过(﹣,2)点和(﹣,2)
则A=2,T=π即ω=2
则函数的解析式可化为y=2sin(2x+?),将(﹣,2)代入得
﹣+?=+2kπ,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z,
当k=0时,φ=
此时
故选A
10. 抛物线的准线方程是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为中边的中点,若,则 ;
参考答案:
0
12. 已知函数,则
参考答案:
13. 过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点,作平行四边形MONP,
则点P的轨迹方程为________.
参考答案:
14. 4xdx=________.
参考答案:
略
15. 命题“如果+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆否命题为________
参考答案:
略
16. 平面向量,,两两所成角相等,且||=1,||=2,||=3,则|++|为 .
参考答案:
或5
【考点】向量的三角形法则.
【分析】由平面向量,,两两所成角相等,可得两两所成角为0°或120°.再利用数量积运算性质即可得出.
【解答】解:∵平面向量,,两两所成角相等,
∴两两所成角为0°或120°.
∵||=1,||=2,||=3,
当所成角为120°时,
∴=1×2×cos120°=﹣1,
=﹣,
=﹣3,
则|++|===.
同理可得:当所成角为0°时,
则|++|==5.
故答案为:或5.
17. 若直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4,则的最小值为 .
参考答案:
【考点】直线与圆相交的性质;基本不等式.
【分析】由已知中圆的方程x2+y2+2x﹣4y+1=0我们可以求出圆心坐标,及圆的半径,结合直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4,我们易得到a,b的关系式,再根据基本不等式中1的活用,即可得到答案.
【解答】解:圆x2+y2+2x﹣4y+1=0是以(﹣1,2)为圆心,以2为半径的圆,
又∵直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4,
故圆心(﹣1,2)在直线ax﹣by+2=0上
即: +b=1
则==()+()≥
故的最小值为
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点M到点的距离比到轴的距离大1.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:,交轨迹C于A,B两点,O为坐标原点,试在轨迹C的AOB部分上求一点P,使得△ABP的面积最大,并求其最大值.
参考答案:
解:(1)因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1,所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x=-1的距离
由抛物线定义知道,点M的轨迹是以F为焦点,m为准线的抛物线或x轴负半轴
设轨迹C的方程为: ,
轨迹C方程为: 或
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), P(x0,y0)
直线l化成斜截式为
当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大
由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式:
,所以
,解得,
所以P点坐标
P点到l的距离
A,B两点满足方程组
化简得.
x1,x2 为该方程的根. 所以
19. 已知△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c且a2﹣c2=b(a﹣b)且c=
(1)求角C;
(2)求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用.
【专题】方程思想;解三角形.
【分析】(1)把已知的等式变形后,得到一个关系式,然后利用余弦定理表示出cosC,把变形后的关系式代入即可求出cosC的值,根据C的范围,利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数;
(2)运用余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab,运用基本不等式可得ab≤6,再由三角形的面积公式即可得到最大值.
【解答】解:(1)因为a2﹣c2=b(a﹣b),即a2+b2﹣c2=ab,
则cosC===,又C∈(0°,180°),
所以∠C=60°.
(2)由余弦定理可得,c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab,
即有ab≤6,当且仅当a=b,取得等号.
则△ABC的面积为S=absinC=ab≤,
当且仅当a=b=,取得最大值.
【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用,考查运用基本不等式求最值的方法,属于中档题.
20. 学校为扩大规模,把后山一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形运动场地.已知,曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段(如图所示).如果要使矩形的相邻两边分别落在上,且一个顶点落在曲线段上,问应如何规划才能使运动场地面积最大?
参考答案:
解:建立平面直角坐标系如图所示,设曲线段所在的抛物线方程为
……………………………………………………………………2分
由已知得点C的坐标为(20,40),代入方程得
………………………4分
设矩形运动场
…………………………6分
………………………………………11分
………………12分
21. 已知函数在处有极小值-1.
(1)求a、b的值;
(2)求出函数的单调区间.
参考答案:
单调增区间为和,函数的单调减区间为.
(1)由已知,可得f(1)=1-3a+2b=-1,①又f′(x)=3x2-6ax+2b,
∴f′(1)=3-6a+2b=0.②由①②解得
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.
由此得f′(x)=3x2-2x-1.
根据二次函数的性质,
当x<-或x>1时,f′(x)>0;
当-
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