吉林省四平市梨树县树文中学2022年高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线, , 若,则实数的值是
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
2. 设集合,则等于( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
本题主要考查集合的运算,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以.
故本题正确答案为.
3. 函数y=的定义域是( )
A.{0|02}
参考答案:
B
4. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若,,则角C的最大值为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
参考答案:
C
5. 已知函数f(n)= ,其中n∈N,则f(8)等于( )
A.2 B.4 C.6 D.7
参考答案:
D
6. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是:( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
略
7. 使函数f(x)=cos(2x+θ)+sin(2x+θ)为奇函数,且在[0,]上是减函数的一个θ值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】先利用正弦的两角和公式对函数解析式化简,进而根据正弦函数的性质求得θ的集合,根据单调性确定θ的值.
【解答】解:f(x)=cos(2x+θ)+sin(2x+θ)=2[cos(2x+θ)+sin(2x+θ)]=2sin(2x+θ+),
∵函数f(x)为奇函数,
∴θ+=kπ,k∈Z,即θ=kπ﹣,
∵在[0,]上是减函数,
∴θ=kπ﹣,(k为奇数),
∴为θ的一个值,
故选D.
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,三角函数的化简求值.考查了学生分析和推理能力和数形结合思想的灵活运用.
8. 已知sinα=,且α是第二象限角,那么tanα的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 与函数的定义域相同的函数是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
函数的定义域为,
.中定义域为;
.中定义域为;
.中定义域为;
.中定义域为.
故选.
10. 不等式cosx<0,x∈[0,2π]的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
方法一:
由函数y=cos x的图象知,在[0,2π]内使cos x<0的x的范围是.
故不等式的解集为.选A
方法二:
由得,,
又,
所以.
故不等式的解集为.选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. = .
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出.
【解答】解:原式=lg5+lg2+﹣
=1+﹣
=.
故答案为:.
【点评】本题考查了指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1,属于基础题.
12. 函数上的最大值与最小值的和为3,则
参考答案:
2
13. 二次函数的图象如图,则 0; 0;
0; 0。(填“”或“”、“”)
参考答案:
略
14. 已知数列为 ;其前n项和为_____________.
参考答案:
.
【分析】
将数列的通项化简,将其裂项,利用裂项求和法求出前项和。
【详解】,设该数列的前项和为,
因此,,
故答案为:。
【点睛】本题考查数列的裂项求和法,要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求,同时要注意裂项法求和的基本步骤,考查计算能力,属于中等题。
15. (16)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于 。
参考答案:
20
略
16. 已知集合,则实数a的值是________.
参考答案:
0
【分析】
根据可以知,即可得出实数a的值.
【详解】,
,
,解得或1,时不满足集合元素的互异性,
舍去,
.
故答案为:0.
【点睛】本题主要考查的是集合间的关系,是基础题.
17. 若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)= .
参考答案:
【考点】反函数.
【分析】我们知道:指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax互为反函数,又其图象经过点(,a),据此可求的a的值.
【解答】解:∵函数y=ax的反函数是f(x)=logax,又已知反函数的图象经过点(,a),
∴a=loga,即a=,
故答案是:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题12分)
设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若角,边上的中线的长为,求的面积.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵,∴.
即.
∴.…………………….3分
则,∴,因为则.………….6分
(Ⅱ)由(1)知,所以,,
设,则,又
在中由余弦定理得……….8分
即 解得故…12分
略
19. (本小题满分12分)
对定义域分别是Df、Dg的函数y= f(x),y= g(x),
定义一个函数h(x):.
(Ⅰ)若,,写出函数h(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,时,若函数有
四个零点,分别为,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)由于 ,,依题意可得
当时,
;
当时,,
所以. ……………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得时,,
当,,
的最大值为.
又恒成立,恒成立,等价于.
实数的取值范围是.……………………………8分
(Ⅲ)依题意可得
不妨设,结合图像知,且,,
由得,所以,且,
当时递增,所以,
故的取值范围是.……………………………………………12分
20. (本题满分12分,第(1)题2分,第(2)题4分,第(3)题6分)
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①;②;
③;④;
⑤.
(1) 利用计算器求出这个常数;
(2) 根据(1)的计算结果,请你写出一个三角恒等式,使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况;
(3)证明你写出的三角恒等式.
参考答案:
21. 在平面直角坐标系中,已知圆的方程为:,直线的方程为.
()当时,求直线被圆截得的弦长.
()当直线被圆截得的弦长最短时,求直线的方程.
()在()的前提下,若为直线上的动点,且圆上存在两个不同的点到点的距离为,求点的横坐标的取值范围.
参考答案:
().
().
().
()圆的方程为,圆心,半径.
当时,直线的方程为,
圆心到直线的距离,
弦长.
()∵圆心到直线的距离
,
设弦长为,则,
当所截弦长最短时,取最大值,
∴,令,
.
令
,
当时,取到最小值.
此时,取最大值,弦长取最小值,
直线上方程为.
()设,
当以为圆心,为半径画圆,当圆与圆刚好相切时,
,
解得或,
由题意,圆与圆心有两个交点时符合题意,
∴点横坐标的取值范围为.
22. 在平面直角坐标系中,已知点和.
()若,是正方形一条边上的两个顶点,求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程.
()若,是正方形一条对角线上的两个顶点,求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标.
参考答案:
()和.
()另外一条对角线为,端点为和.
()∵,,
,,
与直线垂直的直线斜率,,
整理得所求两条直线为和.
()∵直线方程为:,
另外一条对角线斜率,
设中点为,则另一条对角线过点,
∴,整理得,
设另外两个端点坐标分别为,,
∵在直线上,
∴,①
且,
∴,②
联立①②解出或,
即另外两个端点为与.