吉林省长春市市第八十八中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列的前项和（是不为0的实数），那么 （ ）
A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列，或者是等比数列
D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
参考答案：
C
略
2. 函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是 （ ）
A．[k＋，kπ＋] B．[k－，k＋]
C．[2k＋，2k＋] D．[2k－，2kπ＋]（以上k∈Z）
参考答案：
B
略
3. （5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A． {0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2}
参考答案：
C
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
解答： ∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选C
点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
4. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名
学生的总成绩画了样本的频率分布直方图（如右
图），则总成绩在［400，500）内共有（ ）
A. 5000 人 B. 4500人
C. 3250人 D. 2500人
参考答案：
B
5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则k=（ ）
A. 10 B. 7 C. 12 D. 3
参考答案：
C
【分析】
由等差数列的前项和公式解得，由，
得，由此能求出的值。
【详解】解：差数列的前n项和为，，
，解得，
解得，故选：C。
【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6. 在平行四边形ABCD中，++=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
考点： 向量的加法及其几何意义．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法运算法则进行运算即可．
解答： 解：画出图形，如图所示；
++=（+）+
=+
=+
=．
故选：D．
点评： 本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答问题，是容易题．
7. 若集合则等于 （ ）
参考答案：
A
8. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则在[0,π]上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
计算函数的表达式，对比图像得到答案.
【详解】根据题意知：
到直线的距离为：
对应图像为B
故答案选B
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
9. 已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】判断函数y=ln（﹣3x）的奇偶性，然后求解函数值即可．
【解答】解：因为函数g（x）=ln（﹣3x）满足g（﹣x）=ln（+3x）=﹣ln（﹣3x）=﹣g（x），函数是奇函数，g（lg2）+g（﹣lg2）=0，
所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=0+1+1=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．
10. 关于不同直线与不同平面,有以下四个命题:①若且,则;②若且,则; ③若且,则;④若且,则.其中真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，G为AC与DE的交点，若则用表示 ．
参考答案：
12. 已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）= ．
参考答案：
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】已知两等式两边分别平方，相加得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，将得出的关系式代入计算即可求出值．
【解答】解：已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，
（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，
∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=，
则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．
故答案为：．
13. 已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是 ▲ ．
参考答案：
14. 设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有 个．
参考答案：
4
略
15. 已知集合若A中至多有一个元素，则a的取值范围是
参考答案：
或
16. 与的等比中项等于 .
参考答案：
±1
略
17. 数列{an}、{bn}满足，且、是函数的两个零点，则 ▲ ，当时，n的最大值为 ▲ ．
参考答案：
，5
由已知可得
又
的最大值为.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围.
参考答案：
（I）设的方程为，
因为被直线分成面积相等的四部分，
所以圆心一定是两直线的交点，
易得交点为，所以.……………………………………………………2分
又截x轴所得线段的长为2，所以.
所以的方程为.…………………………………………………4分
（II）法一：如图，的圆心，半径，
过点N作的直径NK，连结.
当K与M不重合时，，
又点M是线段PN的中点；
当K与M重合时，上述结论仍成立.
因此，“点M是线段PN的中点”等价于“圆上存在一点K使得KP的长等于的直径”.
…………………………………………………………………………………………………6分
由图可知，即，即.……8分
显然，所以只需，即，解得.
所以实数的取值范围是.………………………………………………12分
法二：如图，的圆心，半径，连结，
过H作交PN于点K，并设.
由题意得，
所以，…………………………6分
又因为，所以，
将代入整理可得，………………………………………………8分
因为，所以，，解得.…………12分
19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系：．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）请解释的实际意义，并求f(x)的表达式；
（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？
参考答案：
（1）（2）90
【分析】
（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；
（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．
【详解】解：（1） 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，
设隔热层建造厚度为毫米，则
，
（2）
当，即时取等号
所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，
如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，
所以业主节省万元.
【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
20. 已知二次函数的最小值为1，且．
（1）求的解析式．
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围．
（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
参考答案：
见解析．
解：（1）由已知是二次函数，且得的对称轴为，
又的最小值为，
故设，
∵，
∴，解得，
∴．
（2）要使在区间上不单调，则，
∴，
即实数的取值范围是．
（3）若在区间上，的图象恒在的图象上方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在区间上单调递减，
∴在区间上的最小值为，
∴，
故实数的取值范围是．
21. （14分）已知三条直线2x﹣y﹣3=0，4x﹣3y﹣5=0和ax+y﹣3a+1=0相交于同一点P．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）求过点（﹣2，3）且与点P的距离为2的直线方程．
参考答案：
考点： 点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．
专题： 直线与圆．
分析： （1）联立，解得点P（2，1）．将P的坐标（2，1）代入直线ax+y﹣3a+1=0中，解得a即可．
（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=﹣2；不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y﹣3=k（x+2），利用点到直线的距离公式即可得出．
解答： 解：（1）联立，解得，
∴点P（2，1）．
将P的坐标（2，1）代入直线ax+y﹣3a+1=0中，可得2a+1﹣3a+1=0，解得a=2．
（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=﹣2，
此时点P与直线l的距离为4，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，
因此点P到直线l的距离d==2，
解方程可得k=2．
所以直线l的方程为2x﹣y+7=0．
点评： 本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、点斜式，考查了分类讨论思想方法，属于基础题．
22. 在中，已知，，.
（Ⅰ）求的值，并判定的形状；
（Ⅱ）求的面积。
参考答案：
解：（1）在中，∵代入余弦定理得，，
∴∴
∴为等腰三角形。
（2）∵∴
∴
略