山东省威海市荣成石岛实验中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则使得都成立的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(0,)
参考答案:
B
2. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其 中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是( )
A.(k∈z) B.(k∈z) C.(k∈z) D.(k∈z)
参考答案:
B
【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;HM:复合三角函数的单调性.
【分析】由图象可求函数f(x)的周期,从而可求得ω,继而可求得φ,利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的递增区间.
【解答】解:|AB|=5,|yA﹣yB|=4,
所以|xA﹣xB|=3,即=3,
所以T==6,ω=;
∵f(x)=2sin(x+φ)过点(2,﹣2),
即2sin(+φ)=﹣2,
∴sin(+φ)=﹣1,
∵0≤φ≤π,
∴+φ=,
解得φ=,函数为f(x)=2sin(x+),
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+,
得6k﹣4≤x≤6k﹣1,
故函数单调递增区间为(k∈Z).
故选B
【点评】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查复合三角函数的单调性,属于中档题.
3. 已知点在不等式表示的平面区域上运动,则的取值范围是
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
4. 已知函数部分图象如图所示,则取得最小值时的集合为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
由,得,得出,再由五点作图第二点,求得,得出,进而得到,利用三角函数的性质,即可求解,得到答案.
【详解】由图可知,,则,所以,
由五点作图的第二点知,,所以,所以,
则,
则,得,
所以取得最小值时的集合为,
故选B.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式,熟记三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5. 若正四棱柱的底面边长为1,AB1与底面ABCD成
60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A. B.1
C. D.
参考答案:
D
6. 将函数的图象向左平移一个单位得到图象,再将向上平移一个单位得图象,作出关于直线对称的图象,则对应的函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 函数f(x)=的图象大致为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【分析】由题意,x<0时,函数单调递增,x≥0时,函数单调递减,即可得出结论.
【解答】解:由题意,x<0时,函数单调递增,x≥0时,函数单调递减,
故选A.
9. 若,则 ( ▲ )
A B C D
参考答案:
B
略
10. 实数x,y满足条件,目标函数z=3x+y的最小值为5,则该目标函数z=3x+y的最大值为( )
A.10 B.12 C.14 D.15
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成,则 .
参考答案:
-1
12. 若函数与函数的图象有且只有一个公共点,则的取值范围是__________.
参考答案:
分和两种情况分别作图,如图所示:
当时,
∵与的图象有且只有一个交点,
∴,,又∵,∴.
当时,
∵与的图象有且只有一个交点,
∴,,又∵,∴.
综上所述,的取值范围是:.
13. 在△ABC中,AB=A=45°,C=60°,则BC=
参考答案:
略
14. 函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于,则_______________.
参考答案:
2
略
15. 已知直线和两个平面,β,给出下列四个命题:
①若∥,则内的任何直线都与平行;
②若⊥α,则内的任何直线都与垂直;
③若∥β,则β内的任何直线都与平行;
④若⊥β,则β内的任何直线都与垂直.
则其中________是真命题.
参考答案:
16. 已知函数 若,则= .
参考答案:
17. 已知向量,,则= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点.
(1)求实数m的值;
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合.
参考答案:
19. 某城市1996年底人口为92万人,人均住房面积5平方米
(1)若该城市自1997年起人口年均增长率为2%,城市规划要求到2004年末人均住房面积不少于8平方米,那么,该城市自1997年起,每年新建住房面积至少是多少万平方米?
(答案要求精确到万平方米,以下数据供选用1.02 3 ≈ 1.06,1.02 6 ≈ 1.13,1.02 8 ≈ 1.17)
(2)若该城市自1997年起每年新建住房40万平方米,为了使得到2004年末时,人均住房面积不少于8平方米,那么人口年均增长率不得高于多少?
(答案要求精确到0.001,当x很小时,可用近似公式 ( 1 + x ) n ≈ 1 + n x)
参考答案:
解析:(1)1996年住房总面积是92 × 5 = 460万平方米,2004年末,人口达到92 ( 1 +) 8万人。2004年末,住房总面积至少达到92 ( 1 +) 8 × 8万平方米,这比1996年至少增加了92 ( 1 +) 8 × 8 – 460万平方米,所以从1997年到2004年这8年中每年平均至少建房≈ 50万平方米。
(2)设人口年平均增长率为x,则到2004年末,人口达到92 ( 1 + x ) 8(万人)。
2004年末,住房总面积达到92 × 5 + 8 × 40(万平方米),因为人均住房面积至少是8平方米,所以≥ 8。因为x很小,所以可用1 + 8 x代替( 1 + x ) 8,得x ≤。
20. 已知函数,,.
(Ⅰ)设,函数的定义域为,求函数的最值;
(Ⅱ)求使的的取值范围.
参考答案:
解析:(I)当时,函数为上的增函数………………3分
故,
………………6分
(II),即,
①当时,,得.………………9分
②当时,,得.………………13分
21. 已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,﹣).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求?.
参考答案:
【考点】双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)设双曲线方程为x2﹣y2=λ,λ≠0,由双曲线过点(4,﹣),能求出双曲线方程.
(2)由点M(3,m)在此双曲线上,得m=.由此能求出?的值.
【解答】解:(1)∵双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,
∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ,λ≠0,
∵双曲线过点(4,﹣),
∴16﹣10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为=1.
(2)∵点M(3,m)在此双曲线上,
∴=1,
解得m=.
∴M(3,),或M(3,﹣),
∵F1(﹣2,0),,
∴当M(3,)时, =(﹣2﹣3,﹣),=(,﹣),
?=﹣12﹣6=0;
当M(3,﹣)时, =(﹣2﹣3,),=(,),
?=﹣12﹣6+6+9+3=0.
故?=0.
【点评】本题考查双曲线方程的求法,考查向量的数量积的求法,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合理运用.
22. 某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;
(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的频率.
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;众数、中位数、平均数.
【分析】(1)由样本容量和频数频率的关系易得答案;
(2)根据平均数的定义和中位数的定义即可求出.
(3)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2,列举法易得
【解答】解:(1)由题意可知,样本容量n==50,y==0.004,x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030;
(2)设本次竞赛学生成绩的中位数为m,平均分为,
则[0.016+0.03+(m﹣70)×0.040]×10=0.5,解得m=71,
=(55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6,
(3)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,
分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2.抽取的2名学生的所有情况有21种,
分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),
(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),
(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).
其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),
(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率P=1﹣=