2022-2023学年福建省莆田市现代中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )
A.T=6,φ= B.T=6,φ= C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=
参考答案:
A
【考点】HL:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】根据图象上点的坐标满足解析式,由已知的范围求出函数的初相,再根据正弦函数的周期和周期公式求出此函数的最小正周期.
【解答】解:由题意知图象经过点(0,1),即2sinφ=1,
又因可得,,由函数的周期得T==6,
故选A.
2. 下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
参考答案:
D
3. 若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,
这个两位数大于40,则十位数字为4或5,共有.
概率为.
故选C.
点睛:古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
4. 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如右图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
5. sin2016°的值为( )
A.正数 B.负数 C.零 D.不存在
参考答案:
B
【考点】三角函数值的符号.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;三角函数的求值.
【分析】利用三角函数的诱导公式化简得答案.
【解答】解:sin2016°=sin(5×360°+216°)=sin216°=﹣sin36°<0.
故选:B.
【点评】本题考查三角函数的诱导公式,考查了三角函数值的符号,是基础题.
6. 由表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是( )
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x+2
2
5
8
11
14
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
C
由表格可知,当时,,当时,,
所以一个根的所在区间为(2,3)。故选C。
7. 在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
0.25
0.50
1
2.00
3.00
4.00
y
﹣1.99
﹣1.01
0
1.01
1.58
2.01
则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a为待定系数,且a>0)( )
A.y=ax B.y=ax C.y=logax D.y=
参考答案:
C
【考点】根据实际问题选择函数类型.
【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由题意,x=1,y=0,选用y=logax,a=2,代入验证,可得结论.
【解答】解:由题意,x=1,y=0,选用y=logax,a=2,代入验证,满足题意.
故选:C.
【点评】本题考查函数模型的运用,考查学生的计算能力,比较基础.
8. 在△ABC中,若,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
A
由得,则
,即,所以,则,即,又是的内角,所以,则,即,所以是等腰三角形。故选A。
9. 已知 ,则的值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知是钝角三角形,且角C为钝角,则点P落在
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
解析:由正弦定理,角C为钝角得,所以,选D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是 .
参考答案:
若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数
【考点】四种命题间的逆否关系.
【专题】阅读型.
【分析】根据逆否命题的定义,先否定原命题的题设做结论,再否定原命题的结论做题设,就得到原命题的逆否命题.
【解答】解:∵“a,b都是奇数”的否命题是“a,b不都是奇数”,
“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”,
∴命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.
故答案为:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.
【点评】本题考查四种命题间的逆否关系,解题时要注意四种命题间的相互转化.
12. 用“<”或“>”号填空:0.50.8 0.50.7;log125 log1215.
参考答案:
<;=
略
13. 已知幂函数y=xα的图象过点,则f(4)= .
参考答案:
2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点代入函数的解析式,求得α的值,即可得到函数解析式,从而求得f(4)的值.
【解答】解:∵已知幂函数y=xα的图象过点,则 2α=,∴α=,故函数的解析式为 y f(x)=,
∴f(4)==2,
故答案为 2.
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于基础题.
14. 已知幂函数y=f(x)的图象过点,则该幂函数的定义域是 .
参考答案:
(0,+∞)
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】对应思想;待定系数法;函数的性质及应用.
【分析】利用幂函数经过的点,求出幂函数的解析式,然后判断函数的定义域
【解答】解:幂函数y=f(x)=xα的图象过点,
所以4α=,解得α=﹣;
所以幂函数为y==,
所以函数y=的定义域为(0,+∞).
故答案为:(0,+∞).
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,也考查了求函数解析式的应用问题,是基础题目.
15. 若平面向量满足,,则的取值范围为 .
参考答案:
,
设,则,
,由平行四边形的性质可得,
,
,
的取值范围为,故答案为
16. 已知{ an }是等差数列,Sn是它的前n项和,且,则____.
参考答案:
【分析】
根据等差数列的性质得,由此得解.
【详解】解:由题意可知,;同理。
故 .
故答案为:
【点睛】本题考查了等差数列的性质,属于基础题.
17. 请用“<”号将以下三个数按从小到大的顺序连接起 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数 .
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象.
参考答案:
∴函数f(x)的最小正周期为π.---------------------------------------------6分
(2)略 ---------------------------------------12分
19. 如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.
(Ⅰ)若弧的中点为D,求证:AC∥平面POD
(Ⅱ)如果△PAB面积是9,求此圆锥的表面积与体积.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)由AB是底面圆的直径,可得AC⊥BC.再由的中点为D,可得OD⊥BC.则AC∥OD.由线面平行的判定可得AC∥平面POD;
(Ⅱ)设圆锥底面圆半径为r,高为h,母线长为l,由题意可得h=r,l=,由△PAB面积是9求得r=3,代入圆锥表面积公式与体积公式求解.
【解答】(Ⅰ)证明:∵AB是底面圆的直径,∴AC⊥BC.
∵的中点为D,∴OD⊥BC.
又AC、OD共面,∴AC∥OD.
又AC?平面POD,OD?平面POD,
∴AC∥平面POD;
(Ⅱ)解:设圆锥底面圆半径为r,高为h,母线长为l,
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,∴h=r,l=,
由,得r=3,
∴,
.
20. 已知函数f(x)=的定义域为集合A,B={x∈Z|2<x<10},C={x∈R|x<a或x>a+1}
(1)求A,(?RA)∩B;
(2)若A∪C=R,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法.
【专题】综合题;转化思想;对应思想;综合法.
【分析】(1)先求出集合A,化简集合B,根据 根据集合的运算求,(CRA)∩B;
(2)若A∪C=R,则可以比较两个集合的端点,得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围.
【解答】解:(1)由题意,解得7>x≥3,故A={x∈R|3≤x<7},
B={x∈Z|2<x<10}═{x∈Z|3,4,5,6,7,8,9},
∴(CRA)∩B{7,8,9}
(2)∵A∪C=R,C={x∈R|x<a或x>a+1}
∴解得3≤a<6
实数a的取值范围是3≤a<6
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是理解集合运算的意义,能借助数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围,本题中取参数的范围是一个难点,易因为错判出错,求解时要注意验证等号能否成立.
21. 设集合A={x|a﹣1≤x≤a+1},集合B={x|﹣1≤x≤5}.
(1)若a=5,求A∩B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 并集及其运算;交集及其运算.
专题: 集合.
分析: (1)利用交集的定义求解.
(2)利用并集的性质求解.
解答: 解:(1)∵a=5,A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6},
集合B={x|﹣1≤x≤5}.
∴A∩B={x|4≤x≤5}.
(2)∵A∪B=B,∴A?B,
∴,
解得0≤a≤4.
点评: 本题考查交集的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意集合的性质的合理运用.
22. 已知等差数列{an}中,,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先设等差数列的公差为,根据题中条件求出公差,即可得出通项公式;
(2)根据前项和公式,即可求出结果.