2022年广西壮族自治区桂林市青水中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,,,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. (10分) 化简:
参考答案:
0
略
3. 已知集合 ,则的真子集有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
参考答案:
A
4. ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
5. 已知则x的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
参考答案:
B
6. 是第二象限角,P为其终边上一点,且,则的值为( );
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=则f(x)的“友好点对”有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.4
参考答案:
C
8. 将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为
参考答案:
A
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】将x=代入得:t=,进而求出平移后P′的坐标,进而得到s的最小值.
【解答】解:将x=代入得:t=sin=,
将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P向左平移s个单位,
得到P′(+s,)点,
若P′位于函数y=sin2x的图象上,
则sin(+2s)=cos2s=,
则2s=+2kπ,k∈Z,
则s=+kπ,k∈Z,
由s>0得:当k=0时,s的最小值为,
故选:A.
9. 若定义在区间上的函数满足:对于任意的,都有,且时,有,的最大值、最小值分别为,则的值为( )
A.2012 B.2013 C.4024 D.4026
参考答案:
C
略
10. 设m是直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
参考答案:
B
在中,,则与相交或平行,故错误;
在中,,则由面面垂直的判定定理得,故正确;
在中,,则与相交,平行或,故错误;
在中,,则或,故错误,故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二次不等式的解集为,则ab的值为_______.
参考答案:
6
【分析】
由二次不等式与二次方程的关系可得,从而得解.
【详解】二次不等式的解集为,
则,且的两个根为和.
所以,解得.
所以
【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系,属于基础题.
12. 设,其中,则的值为________.
参考答案:
【分析】
由两角差的正弦公式以及诱导公式,即可求出的值。
【详解】,
所以,因为,故。
【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。
13. 数列{ a n }满足递推关系a n = 2 +a n – 1 ( n > 1 ),且首项a 1 = 5,则通项公式a n = ,
a n = 。
参考答案:
[ 1 + () n – 1 ] ( n = 1,2,… ),
14. 已知向量=(1,2),=(x,4),且则x=
参考答案:
15. 若则的最小值是 ;取到最小值时,= 。
参考答案:
2 ;1.
16. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,当取最大值时,角B的值为 .
参考答案:
17. 函数的对称中心的坐标为__________.
参考答案:
,解得,所以对称中心为 .
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)解方程
(2)计算的值.
参考答案:
解:(1); (2)2012
略
19. 设∠AOB=60°角内一点P到∠AOB两边的距离PA、PB分别为3和5(A、B为垂足)。
求:(1)AB的长; (2)OP的长。
参考答案:
略
20. (本题满分14分)(Ⅰ)已知,,求的值;
(Ⅱ)已知,,,求的值.
参考答案:
因为,,所以,, ……5分
. ………………………………………………7分
(Ⅱ)因为且,所以, ……………………………9分
因为,所以,
又,所以,所以,……11分
所以.……………………………14分
21. (本题满分10分)在中,的对边分别为,已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
参考答案:
(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=cosC+sinC.
整理得:tanC=.所以sinC=.5分
(Ⅱ)由正弦定理知:,故. (1)
对角A运用余弦定理:cosA=. (2)
解(1) (2)得: or b=(舍去).
∴ABC的面积为:S=.10分
22. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求点M到平面PBC的距离.
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)设PB的中点为Q,连接AQ,NQ,由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形,得到MN∥AQ.再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB;
(2)在Rt△PAB,Rt△PAC中,由已知求解直角三角形可得PE==,进一步得到S△PBC.然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离.
【解答】(1)证明:设PB的中点为Q,连接AQ,NQ;
∵N为PC的中点,Q为PB的中点,∴QN∥BC且QN=BC=2,
又∵AM=2MD,AD=3,∴AM=AD=2 且AM∥BC,
∴QN∥AM且QN=AM,
∴四边形AMNQ为平行四边形,
∴MN∥AQ.
又∵AQ?平面PAB,MN?平面PAB,
∴MN∥平面PAB;
(2)解:在Rt△PAB,Rt△PAC中,PA=4,AB=AC=3,
∴PB=PC=5,又BC=4,取BC中点E,连接PE,则PE⊥BC,且PE==,
∴S△PBC=×BC×PE=×4×=2.
设点M到平面PBC的距离为h,则VM﹣PBC=×S△PBC×h=h.
又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC×S△ABC×PA=××4××4=,
即h=,得h=.
∴点M到平面PBC的距离为为.