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2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(每题4分,共48分) 1.已知,且α是锐角,则α的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.不确定 2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.已知Rt△ABC,∠ACB=90º,BC=10,AC=20,点D为斜边中点,连接CD,将△BCD沿CD翻折得△B’CD,B’D交AC于点E,则的值为( ) A. B. C. D. 4.如图,是直角三角形,,,点在反比例函数的图象上.若点在反比例函数的图象上,则的值为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB的长为 A.12米 B.4米 C.5米 D.6米 6.如图所示,中,,,点为中点,将绕点旋转,为中点,则线段的最小值为( ) A. B. C. D. 7.如图,太阳在房子的后方,那么你站在房子的正前方看到的影子为( ) A. B. C. D. 8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1 B. C.2 D.4 9.在中,∠C=90°,∠A=2∠B,则的值是( ) A. B. C. D. 10.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解,则a的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤4 C.a≤1 D.a≥1 11.下列四个几何体中,主视图是三角形的是( ) A. B. C. D. 12.若抛物线与坐标轴有一个交点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题(每题4分,共24分) 13.用配方法解方程x2﹣2x﹣6=0,原方程可化为_____. 14.有一条抛物线,三位学生分别说出了它的一些性质:甲说:对称轴是直线;乙说:与轴的两个交点的距离为6;丙说:顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9,则这条抛物线解析式的顶点式是______. 15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径是4,sinB=,则线段AC的长为 . 16.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,若AP=1,那么线段PP′的长等于_____. 17.在平面直角坐标系中,将抛物线向左平移2个单位后顶点坐标为_______. 18.已知,关于原点对称,则__________. 三、解答题(共78分) 19.(8分)如图1,是一种自卸货车.如图2是货箱的示意图,货箱是一个底边AB水平的矩形,AB=8米,BC=2米,前端档板高DE=0.5米,底边AB离地面的距离为1.3米.卸货时,货箱底边AB的仰角α=37°(如图3),求此时档板最高点E离地面的高度.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75) 20.(8分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ① 当时, ;② 当时, (2)拓展探究 试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明. (3)问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长. 21.(8分)定义:无论函数解析式中自变量的字母系数取何值,函数的图象都会过某一个点,这个点称为定点. 例如,在函数中,当时,无论取何值,函数值,所以这个函数的图象过定点. 求解体验 (1)①关于的一次函数的图象过定点_________. ②关于的二次函数的图象过定点_________和_________. 知识应用 (2)若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点且,试求直线所过的定点. 拓展应用 (3)若直线与拋物线交于、两点,试在拋物线上找一定点,使,求点的坐标. 22.(10分)已知抛物线y=x2+(1﹣2a)x﹣2a(a是常数). (1)证明:该抛物线与x轴总有交点; (2)设该抛物线与x轴的一个交点为A(m,0),若2<m≤5,求a的取值范围; (3)在(2)的条件下,若a为整数,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,其余部分保持不变,得到一个新图象G,请你结合新图象,探究直线y=kx+1(k为常数)与新图象G公共点个数的情况. 23.(10分)现有3个型号相同的杯子,其中A等品2个,B等品1个,从中任意取1个杯子,记下等级后放回,第二次再从中取1个杯子, (1)用恰当的方法列举出两次取出杯子所有可能的结果; (2)求两次取出至少有一次是B等品杯子的概率. 24.(10分)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元? 25.(12分)一次函数的图像与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,二次函数图像经过点A、B,与x轴相交于另一点C. (1)求a、b的值; (2)在直角坐标系中画出该二次函数的图像; (3)求∠ABC的度数. 26.如图,四边形是平行四边形,、是对角线上的两个点,且.求证:. 参考答案 一、选择题(每题4分,共48分) 1、C 【分析】根据sin60°=解答即可. 【详解】解:∵α为锐角,sinα=,sin60°=, ∴α=60°. 故选:C. 【点睛】 本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 2、C 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各个选项进行判断,即可得到答案. 【详解】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故A错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故B错误; C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故C正确; D、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故D错误; 故选:C. 【点睛】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念,解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 3、A 【分析】如图,过点B作BH⊥CD于H,过点E作EF⊥CD于F,由勾股定理可求AB的长,由锐角三角函数可求BH,CH,DH的长,由折叠的性质可得∠BDC=∠B'DC,S△BCD=S△DCB'=50,利用锐角三角函数可求EF=,由面积关系可求解. 【详解】解:如图,过点B作BH⊥CD于H,过点E作EF⊥CD于F, ∵∠ACB=90°,BC=10,AC=20, ∴AB=,S△ABC=×10×20=100, ∵点D为斜边中点,∠ACB=90°, ∴AD=CD=BD=, ∴∠DAC=∠DCA,∠DBC=∠DCB, ∴sin∠BCD=sin∠DBC=, ∴, ∴BH=, ∴CH=, ∴DH=, ∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD, ∴∠BDC=∠B'DC,S△BCD=S△DCB'=50, ∴tan∠BDC=tan∠B'DC=, ∴, ∴设DF=3x,EF=4x, ∵tan∠DCA=tan∠DAC=, ∴, ∴FC=8x, ∵DF+CF=CD, ∴3x+8x=, ∴x=, ∴EF=, ∴S△DEC=×DC×EF=, ∴S△CEB'=50-=, ∴, 故选:A. 【点睛】 本题考查了翻折变换,直角三角形的性质,锐角三角函数的性质,勾股定理等知识,添加恰当辅助线是本题的关键. 4、D 【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以,过点、作轴,轴,分别于、,根据条件得到,得到:,然后用待定系数法即可. 【详解】过点、作轴,轴,分别于、, 设点的坐标是,则,, , , , , , , , , ,, 因为点在反比例函数的图象上,则, 点在反比例函数的图象上,点的坐标是, . 故选:. 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,求函数的解析式的问题,一般要转化为求点的坐标的问题,求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式. 5、A 【分析】试题分析:在Rt△ABC中,BC=6米,,∴AC=BC×=6(米). ∴(米).故选A. 【详解】请在此输入详解! 6、B 【分析】如图,连接CN.想办法求出CN,CM,根据MN≥CN−CM即可解决问题. 【详解】如图,连接CN. 在Rt△ABC中,∵AC=4,∠B=30°, ∴AB=2AC=2 ,BC=AC=3, ∵CM=MB=BC=, ∵A1N=NB1, ∴CN=A1B1=, ∵MN≥CN−CM, ∴MN≥,即MN≥, ∴MN的最小值为, 故选:B. 【点睛】 本题考查解直角三角形,旋转变换等知识,解题的关键是用转化的思想思考问题,属于中考常考题型. 7、C 【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方,房子左边对应的突起应该在影子的左边. 8、C 【分析】如图,延长FH交AB于点M,由BE=2AE,DF=2FC,G、H分别是AC的三等分点,证明EG//BC,FH//AD,进而证明△AEG∽△ABC,△CFH∽△CAD,进而证明四边形EHFG为平行四边形,再根据平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】如图,延长FH交AB于点M, ∵BE=2AE,DF=2FC,AB=AE+BE,CD=CF+DF, ∴AE:AB=1:3,CF:CD=1:3, 又∵G、H分别是AC的三等分点, ∴AG:AC=CH:AC=1:3, ∴AE:AB=AG:AC,CF:CD=CH:CA, ∴EG//BC,FH//AD, ∴△AEG∽△ABC,△CFH∽△CDA,BM:AB=CF:CD=1:3,∠EMH=∠B, ∴EG:BC=AE:AB=1:3,HF:AD=CF:CD=1:3, ∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=6, ∴CD=AB=3,AD=BC=6,∠B=90°, ∴AE=1,EG=2,CF=1,HF=2,BM=1, ∴EM=3-1-1=1,EG=FH, ∴EGFH, ∴四边形EHFG为平行四边形, ∴S四边形EHFG=2×1=2, 故选C. 【点睛】 本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键. 9、C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的值,运用特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=2∠B,∠C=90°, ∴2∠B+∠
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