2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题(每题4分,共48分)
1.设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=2,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,则点A的对应点A′的坐标为( )
A.(,﹣1) B.(1,﹣) C.(,﹣) D.(﹣,)
3.如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得,在C点测得,又测得米,则小岛B到公路l的距离为( )米.
A.25 B. C. D.
4.如图,直线y=x+3与x、y轴分别交于A、B两点,则cos∠BAO的值是( )
A. B. C. D.
5.若点、、都在反比例函数的图象上,并且,则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
6.一个不透明的袋中,装有2个黄球、3个红球和5个白球,它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球,是白球的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中正确的有( )
①当AB=BC时,四边形ABCD是菱形;
②当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形;
③当∠ABC=90°时,四边形ABCD是菱形:
④当AC=BD时,四边形ABCD是菱形;
A.3个 B.4个 C.1个 D.2个
8.如图,若一次函数的图象经过二、三、四象限,则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
9.若关于x的一元二次方程有实数根,则实数k的取值范围是( )
A. B. C.且 D.
10.如图是抛物线y=a(x+1)2+2的一部分,该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A.(,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0)
11.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
12.如图,线段 OA=2,且OA与x轴的夹角为45°,将点 A 绕坐标原点 O 逆时针旋转105°后得到点,则的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分,共24分)
13.若点 M(-1, y1 ),N(1, y2 ),P(, y3 )都在抛物线 y=-mx2 +4mx+m2 +1(m>0)上,则y1、y2、y3 大小关系为_____(用“>”连接).
14.如图,△ABC的顶点A、B、C都在边长为1的正方形网格的格点上,则sinA的值为________.
15.若,则=______
16.某中学去年举办竞赛,颁发一二三等奖各若干名,获奖人数依次增加,各获奖学生获得的奖品价值依次减少(奖品单价都是整数元),其中有3人获得一等奖,每人获得的奖品价值34元,二等奖的奖品单价是5的倍数,获得三等奖的人数不超过10人,并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛,获得一二三等奖的人数比去年分别增加了1人、2人、3人,购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样,今年购买奖品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了__________元.
17.将二次函数y=2x2的图像向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式为____.
18.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于___________.
三、解答题(共78分)
19.(8分)如图,正方形的对角线、相交于点,过点作的平行线,过点作的平行线,它们相交于点.求证:四边形是正方形.
20.(8分)如图,矩形中,,以为直径作.
(1)证明:是的切线;
(2)若,连接,求阴影部分的面积.(结果保留)
21.(8分)如图,在Rt△ABC中,,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,若BC=6,sinA=,求DE的长.
22.(10分)关于的一元二次方程.
(1)求证:此方程必有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一根为1,求方程的另一根及的值.
23.(10分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
24.(10分)如图,点是线段上的任意一点(点不与点重合),分别以为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形,与相交于点,与相交于点.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)若的长为12cm,当点在线段上移动时,是否存在这样的一点,使线段的长度最长?若存在,请确定点的位置并求出的长;若不存在,请说明理由.
25.(12分)解方程:3(x﹣4)2=﹣2(x﹣4)
26.如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.
参考答案
一、选择题(每题4分,共48分)
1、C
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2,根据一元二次方程的解的定义可得a2=2a+1,然后把a2+a+3b变形为3(a+b)+1,代入求值即可.
【详解】由题意知,a+b=2,a2-2a-1=0,即a2=2a+1,
则a2+a+3b=2a+1+a+3b=3(a+b)+1=3×2+1=1.
故选C.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解,难度适中,关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.
2、C
【解析】试题解析:∵三角板绕原点O顺时针旋转75°,
∴旋转后OA与y轴夹角为45°,
∵OA=2,
∴OA′=2,
∴点A′的横坐标为2×=,
纵坐标为-2×=-,
所以,点A′的坐标为(,-)
故选C.
3、B
【详解】解:过点B作BE⊥AD于E.
设BE=x.
∵∠BCD=60°,tan∠BCE,
,
在直角△ABE中,AE=,AC=50米,
则,
解得
即小岛B到公路l的距离为,
故选B.
4、A
【解析】∵在中,当时,;当时,解得;
∴点A、B的坐标分别为(-4,0)和(0,3),
∴OA=4,OB=3,
又∵∠AOB=90°,
∴AB=,
∴cos∠BAO=.
故选A.
5、B
【分析】根据反比例函数的图象特征即可得.
【详解】反比例函数的图象特征:(1)当时,y的取值为正值;当时,y的取值为负值;(2)在每个象限内,y随x的增大而增大
由特征(1)得:,则最大
由特征(2)得:
综上,
故选:B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象特征,掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键.
6、A
【分析】由题意可得,共有10种等可能的结果,其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况,利用概率公式即可求得答案.
【详解】解:∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果,
其中摸出的球是白球的结果有5种,
∴从袋中任意摸出一个球,是白球的概率是=,
故选A.
【点睛】
此题考查了概率公式,明确概率的意义是解答问题的关键,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
7、D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可.
【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①当AB=BC时,四边形ABCD是菱形;故符合题意;
②当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形;故符合题意;
③当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形;故不符合题意;
④当AC=BD时,四边形ABCD是矩形;故不符合题意;
故选:D.
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理,熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.
8、C
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况,再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴,然后选择即可.
【详解】解:的图象经过二、三、四象限,
,,
抛物线开口方向向下,
抛物线对称轴为直线,
对称轴在y轴的左边,
纵观各选项,只有C选项符合.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象,一次函数的图象与系数的关系,主要利用了二次函数的开口方向与对称轴,确定出a、b的正负情况是解题的关键.
9、C
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于k的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为1.
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴△=b2-4ac≥1,
即:1+3k≥1,
解得:,
∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=1中k≠1,
故选:C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.
10、B
【解析】根据图表,可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(−3,0);将(−3,0)代入y=a(x+1)2+2,可得a(−3+1)2+2=0,解得a=−;所以抛物线的表达式为y=−(x+1)2+2;当y=0时,可得−(x+1)2+2=0,解得x1=1,x2=−3,所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1,0).
故选 B.
11、A
【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,符合题意;
B、是轴对称图形,不合题意;
C、是轴对称图形,不合题意;
D、是轴对称图形,不合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形.
12、C
【分析】如图所示,过作⊥y轴于点B,作⊥x轴于点C,根据旋转的性质得出,,从而得出,利用锐角三角函数解出CO与OB即可解答.
【详解】解:如图所示,过作⊥y轴于点B,作⊥x轴于点C,
由旋转可知,,,
∵AO与x轴的夹角为45°,
∴∠AOB=45°,
∴,
∴,
,
∴,
故选:C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及解直角三角形,解题的关键是得出,并熟悉锐角三角函数的定义及应用.
二、填空题(每题4分,共24分)
13、y1<y3<y1
【分析】利用图像法即可解决问题.
【详解】y=-mx1 +4mx+m1 +1(m>0),
对称轴为x= ,
观察二次函数的图象可知:y1<y3<y1.
故答案为:y1<y3<y1.
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征,解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小.
14、
【解析】如图,由题意可知∠ADB=90°,BD=,AB=,
∴sinA=.
15、
【分析】可设x=4k,根据已知条件得到y=3k,再代入计算即可得到正确结论.
【详解】解:∵ ,
∴y=3k,x=4k;
代入=
故答案为
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用,主要考查学生的计算能力,题目比较好,难度不大.
16、257
【分析】根据获奖人数依次增加,获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同,以及二等奖奖品单价为5的倍数