2023年中考数学高频考点提升练习--反比例函数与动态几何 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数 y=kx(x>0) 的图象交于点A (1，3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及n的值； （2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F． ①请求出点F的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2． （1）探究新知：如图1，已知 △ABC 与 △ABD 的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数 y=kx(k>0) 的图象上，过点M作 ME⊥y 轴，过点N 作 NF⊥x 轴，垂足分别为E，F．试证明： MN//EF ． （3）拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 y=kx(k>0) 图象上的位置，如图3所示，MN与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 BM=3 ，请求AN的长． 3．如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C(2，0)，点B(0，4)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点(3，n)，分别求m与n的值． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1＝ kx 与直线y2＝mx＋n交于点A，E，AE交x轴于点C，交y轴于点D， AB⊥x 轴于点B，C为OB中点．若D点坐标为（0，﹣2），且S△AOD＝4 （1）求双曲线与直线AE的解析式； （2）写出E点的坐标； （3）观察图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 5．如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6，b)． （1）b=　 　；k=　 　； （2）点C是线段AB上一点(不与A，B重合)，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD=24，求点C的坐标； （3）将第（2）小题中的ΔOCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上(如图)，求此时点D的对应点D′的坐标． 6．已知边长为8的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒2个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒8个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）求出该反比例函数解析式； （2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标； （3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s． 7．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点． （1）求反比例函数关系式和点E的坐标； （2）如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值； （3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长． 8．如图，平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A的横坐标是1，以OA，OC为邻边作 ▱ABCO ，点D是BC的中点，反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过点A，点D． （1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）； （2）连接AD，若AB＝AD，求k的值． 9．如图，反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象经过线段OA的端点A(m，4)，线段OA与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=2． （1）求反比例函数和直线OA的解析式； （2）把线段OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得|DQ−AQ|的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若P为函数y=kx(k>0，x>0)的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且n<3，当PNPM=14时，求出n的值． 10．某模具厂计划生产一批面积为 4 ，周长为 m 的矩形模具，需要确定 m 的取值范围． 小亮利用图象的方法解决此问题的过程如下： （1）建立函数模型，设矩形相邻两边的长分别为 x ， y ，由矩形的面积为 4 ，得 xy=4 ，即 y=4x ；由周长为 m ，得 2(x+y)=m ，即 y=−x+m2 ．满足要求的 (x，y) 应是这两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象，如图，在同一直角坐标系中画出了函数 y=4x(x>0) 和 y=−x 的图象． （3）平移直线 y=−x 可以得到函数 y=−x+m2 的图象，观察函数图象 ①当直线 y=−x 平移到与函数 y=4x(x>0) 的图象有唯一交点时，周长 m 的值为 ▲ ； ②请你直接写出在直线平移过程中，与函数 y=4x(x>0) 的图象的交点个数的其它情况及对应的周长 m 的取值范围． （4）得出结论，若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为　 　． 11． （1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数 y=kx （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF． ②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行？请说明理由. 12．已知反比例函数y=1−2mx ( m 为常数)的图象在一、三象限. （1）求m的取值范围. （2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ ABCD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0). ①求出反比例函数表达式； ②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为▲ .若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为▲ . 13．如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B，恰好落在反比例函数y＝ kx 的图象上，连接OA，OB，过点B作BC⊥x轴交于点C，点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若S△POC＝4S△PBC，求P的坐标； （3）如图2，连接PO并延长交双曲线于G（﹣m，﹣n），平面内有一点Q（m﹣1，n+2），PQ与GA的延长线交于点H； ①若m＝2，求点H的坐标； ②当m≠1时，记H的坐标为（a，b），试判断（a+2）（b﹣4）是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（4，2）， AC 的垂直平分线分别交 BC，OA 于点 D，E ，过点 D 的反比例函数 y=kx(x>0) 的图像交 AB 于点 F . （1）求反比例函数 y=kx 的表示式； （2）判断 DF 与 AC 的位置关系，并说明理由； （3）连接 OD ，在反比例函数图象上存在点 G ，使 ∠ODG=90∘ ，直接写出点 G 的坐标. 15．如图1，已知A(−1，0)，B(0，−2)，平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y=kx(k为常数，k≠0)上经过C、D两点． （1）求k的值； （2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图像于点M，交反比例函数y=−32x(x<0)的图像于点N，当FM=FN时，求G点坐标； （3）点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标． 16．已知：反比例函数 y=mx 的图像过点A（ x1 ， −1−12m ），B（ x2 ， 5−4m ）且 x1+x2=0 （1）求m的值； （2）点C在x轴上，且 sΔABC=16 ，求C点的坐标； （3）点Q是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的右侧，设直线QA，QB与y轴分别交于点E、D，试判断DE的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：∵直线AB与反比例函数y =kx （x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n）， ∴把A （1，3）代入y =kx 得，3 =k1 ， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为y =3x ， 把B（3，n）代入y =3x 得，n =33= 1； （2）解：①设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴k+b=33k+b=1 ， 解得： k=−1b=4 ， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4， 当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4， ∴点C （4，0），点D（0，4）， ∴OC＝OD＝4， ∴△COD是等腰直角三角形， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∵将△OCD沿直线AB翻折， ∴四边形OCED是正方形， ∴DE＝CE＝4， ∴E（4，4）， 把x＝4代入y =3x 中得，y =34 ， ∴F（4， 34 ）； ②存在， 理由：设点P（m，0）， ∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（ 34 ）2，FD2＝16+（4 −34 ）2， ∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形， ∴DP2+PF2＝FD2， 即m2+16+（4﹣m）2+（ 34 ）2＝16+（4 −34 ）2， 解得：m＝1或m＝3， 故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，此时点P的坐标为 （1，0）或（3，0）． 2．【答案】（1）解：分别过点C，D，作 CG⊥AB ， DH⊥AB ，垂足为G，H， 则 ∠CGA=∠DHB=90° ． ∴CG∥DH ． ∵△ABC 与 △ABD 的面积相等， ∴CG=DH ． ∴四边形CGHD为平行四边形． ∴AB//CD ． （2）解：连结MF，NE． 设点M的坐标为 (x1，y1) ，点N的坐标为 (x2，y2) ， ∵点M，N在反比例函数 y=kx(k>0) 的图象上， ∴x1y1=k ， x2y2=k ． ∵ME⊥y 轴， NF⊥x 轴， ∴OE=y1 ， OF=x2 ， ∴SΔEFM=12x1⋅y1=12k ， S△EFN=12x2⋅y2=12k ， ∴S△EFM=S△EFN ， 由（1）中的结论可知： MN∥EF ． （3）解：如图，根据题意，将图补充完成，连结MF，NE． 同理即可得， MN∥EF ， ∵ME⊥y 轴， ∴ME//FA ， ∴四边形FEMA是平行四边形， ∴ME=AF ． 同理：∵NF⊥x 轴， ∴NF∥BE ， ∴四边形FEBN是平行四边形， ∴NF=BE ． 在 RtΔEMB 和 Rt△FAN 中， EM=FA∠MEB=∠AFN=90°BE=NF ， ∴RtΔEMB ≌ Rt△FAN ， ∴AN=BM=3 ． 3