第 2 2 章 二次根式2 2.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：y a O(a 0)1(V a)2=a a 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质4 a 0(a 0)和(V )2=a (a 0)三、学习过程(-)复习引入：(1)已知x=a，那么a是x的;x 是 a的,记为a 一定是 数。(2)4的算术平方根为2,用式子表示为V?=；正数a的算术平方根为,0 的算术平方根为；式子VG 0(a 0)的意义是。(二)提出问题1、式子人表示什么意义？2、什么叫做二次根式？3、式 子 近 2 0(。2 0)的意义是什么？4、(&=。(。2 0)的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？(三)自主学习自学课本第2 页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？6-V 16,V 4,q,T(fl-0),V 7 T T2、计 算：（I）（4）2 （2）（V 3）2（代）2 （4）（0 2根据计算结果，你能得出结论：（&）2=其中。2 0,（右）2 =a（a 0）的意义是 o3、当a为正数时 茹 指 a的,而 0 的算术平方根是,负数,只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式石中,字母a 必须满足,而才有意义。（三）合作探究1、学生自学课本第2 页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：x 取何值时，下列各二次根式有意义？j 3 x-4 2+g x _ _ 2 _2、（1）若-收 工 有 意 义，则a的值为.（2）若Q 在实数范围内有意义，则x 为（）。A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（四）展 示 反 馈（学生归纳总结）1.非负数a的算术平方根6（a 2 0）叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。2 .式 子&（a 2 0）的取值是非负数。（五）精讲点拨1、二次根式的基本性质（V I）2=a 成立的条件是a 2 0,利用这个性质可以求二次根式的平方，如（行）2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=（石）：2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。（五）拓展延伸J1-2%1、（1）在式子一；中，x的取值范围是.（2）已知 V%2-4 +J2 x+y =0,贝 U x-y =.（3）已知 y=4 3-x+Jx-3 2,则 yx=。2、由公式（V=a（a N 0）,我们可以得到公式a=（V，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：50.3 5（2）在实数范围内因式分解X）-7 4 a 2-11（六）达标测试（一）填空题：A 组2、1 妈数范围内因式分解：(1)X2-9=x2-()2=(2)x2-3 =x2-()(-)选择题：_ _ _ _ _4-1 3)2 的值为(x+)(X-)2=(x+)(X-_ _ _ _)1、计算（）A.169 B.-13 C13 D.132、已 知 在 行=0,贝卜为（）A.x-3 B.x-3 C.x=-3 D x 的值不能确定3、下列计算中，不正确的是（）oA.3=（V3）2 B 0.5=（后 了C.(V03)2=0.3 D (5A/7)2=35B组（-）选择题：1、下列各式中，正确的是（）oA.V9+4=C V 42=V 4-V 2B 749=V9XV4叵二比V36 762、如果等式（C 7）2=x成立，那么x为（）oA xWO;B.x=0;C.x 0 时，yfa=2、计算：而4 J O =_ _ _ _ _一 利=正2 0）2 =观察其结果与根号内界底数的关系，归纳得到：当。0时,。=3、计算：后=当a=0时，、5=（四）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a a 07 =同=0 a =0-a a 02、化简下列各式：(1)V O 37=(2)7(-0.3)2=疤?=(4)J(2 a)2 =(a 0)(2)7/2、化简下列各式(1)7(-3)2(a 3)(2)J(2X+3)2 (X 2）=.、J（万-4）2 =2、已知 2 V x V 3,化简：J（X-2）2+:-3|B 组1、已知 0 V x V l,化简：(X-)2+4-(X+-)2-42、边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为色的正方形方孔.若沿3图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.22.2 二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。2,熟练进行二次根式的乘法运算及化简。二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程()复习回顾1、计算：(1)V4 X 79=_ 74x9=_(2)V16 X V25=716x25=_(3)VlOO X V36=7100 x36=2,根据上题计算结果，用或“=填空：(1)V4 X V9_ 749(2)V16 X V25_ 716x25(3)V100 X V36 7100 x36()提出问题1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。(三)自主学习自学课本第56 页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目:1、用计算器填空：(1)V2 X V3 V6(2)7 5 X 7 6 _ V30(3)亚 X 加 屈(4)V4 X V5_V202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律?能用数学表达式表示发现的规律吗？3、二次根式的乘法法则是:(四)合作交流1、自学课本6 页例1后，依照例题进行计算：(1)79X727(2)275 X3V22、自学课本第67 页内容，完成下列问题:(1)用式子表示积的算术平方根的性质：(2)化简:后 J12a为2 J25x497100 x64（五）展示反馈展示学习成果后,请大家讨论:对于百X 后的运算中不必把它变成历后再进行计算，你有什么好办法？（六）精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。（2）分解后把能开尽方的开出来。（七）拓展延伸1、判断下列各式是否正确并说明理由。(1)(-4)x (9)J 4 x J 9(2)J3W=ab(3)(4)6 7 8 X (-2 /6)=6 x(-2)7 8 7 6 =-1 2 7 4 84 x V 1 6 =4 x J x V 1 6 =4 x 3 =1 21 6 V 1 62、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1)-32(2)-2 a（八）达标测试:A组1、选择题(1)等式=g-1成立的条件是()A.x 2 1 B.x N-l C.T W x W l D.(2)下列各等式成立的是().A.4 7 5 X 2 V 5=8 V 5 B.5 6 X 4 0=2 O 行C.4 7 3 X 3A/2=7 V 5 D.5g X 4 庶=2 0 遥(3)二次根式，(-2)2 x 6 的计算结果是()A.2 7 6 B.-2 7 6 C.6 D.1 22、化简:(1)V 3 6 0;(2)，3 2X，；x 2 1 或 x-l3、计算：(1)回 底;(2)当 x区；V 75B 组1、选择题(1)若|。一 2|+/+4 b +4 +J c 2-c +；=0,贝 U/A.4 B.2 C.-2 D.1(2)下列各式的计算中，不正确的是()A.7(-4)x(-6)=x=(-2)X (-4)=8B.，4 a4=V?x Va4-x (o2)2-2 a2 V c =()C.732+42=79+1 6=V 2 5 =5D.V 1 32-1 22=7(1 3 +1 2)(1 3-1 2)=J 1 3 +1 2 x J 1 3 -1 2 =后 x 12、计算：(1)6毒 X (-2 后)；(2)痴ij义几石;二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2,能熟练进行二次根式的除法运算及化简。二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（）复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：(1)3 5/8 X (-4 76)(2)加2ab 义瓦而3,填空：（1）（二）提出问题：1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的除法法则进行计算？3、商的算术平方根有什么性质？4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？（三）自主学习自学课本第7页一第8页内容，完成下面的题目：1、由“知识回顾3题”可得规律：2、利用计算器计算填空:（1）亲 夫（3）导规律：3,根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则:把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质:（四）合作交流1、自学课本例3,仿照例题完成下面的题目：计算：fJ142、自学课本例4,仿照例题完成下面的题目:化 简:拈(2)64b2（五）精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母;（2）分母中不含有二次根式。（六）拓展延伸阅读下列运算过程：1 _ V 3 _ 7 3 2 _ 2 75 _ 2 75Gx6一 3 亚一旧x亚-5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简:2_ 二瓜(3)_1 Z ZV 1 2骋A组（七）达标测试:).（2）化简-3 72V 2 7的结果是)A.3B.C.-D.-V26 32、计算:(1)2(4)B组用两种方法计算:餐(2)V64A/3最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式.3,熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（）复习回顾1、化 简（1）%V 2 72、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？（二）提出问题：1、什么是最简二次根式？2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式?3、如何进行二次根式的乘除混合运算？（三）自主学习自学课本第9 页内容，完成下面的题目：1、满足于,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的二次根式称为最简二次根式.2,化简：3 后 （2）G7 7 7 7 而7 告（四）合作交流1、计算：得居X般2、比较下列数的大小(1)而 与 归(2)-76 与-6万3、如图,在 R t Z k A B C 中，Z C=90 ,A C=3 c m,B C=6c m,求 A B 的长.(五)精讲点拨1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为最简二次根式的两条标准：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中所有因数或因式的累的指数都小于2.(六)拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 _ 1 x(后 _ 1)_ 向1 尼V 2 +1 -(V 2 +1)(72 -1)-2-1 -，1 _ 1 x(3-V 2)_ V 3 -V 2