天津第五十一中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，
四边形ABEF是矩形，且AF＝，G是EF的中点，
则GB与平面AGC所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D中，两条面对角线A1D与AC所成角的大小等于 （ ）
A．450 B．600 C．900 D．1200
参考答案：
B
略
3. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）
A. ②①③ B. ②③① C. ①②③ D. ③①②
参考答案：
D
【分析】
根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.
【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：
大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；
小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；
结论：②安梦怡是独生子女，故选D.
【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
6. 函数是
（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数
（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数
参考答案：
A
7. 圆的半径为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
8. 抛物线x2=2y的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；
所以：2p=2，即p=1，
所以： =，
∴准线方程 y=﹣=﹣，
故选D．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
9. 用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
10. 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．
【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上
设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），
∴﹣c+x=0，∴x=c；
∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，
∵∠PF1F2=30°，
∴PF2=，
∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，
tan∠PF1F2===，
∴=，∴e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若双曲线与椭圆有相同的焦点,且经过点(0,3), 则双曲线的标准方程为 ．
参考答案：
12. 已知平面α∩平面β=l，a?β，a∥α，那么直线a与直线l的位置关系是 ．
参考答案：
平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】根据直线和平面平行的判定定理和性质定理进行判断证明即可．
【解答】解：a与b的位置关系：平行．
设过a的平面γ有γ∩α=b，
∵a∥α，γ∩α=b，
∴a∥b，
∵a?β，
∴b∥β，
∵α∩β=l，
∴b∥l，
∵a∥b，
∴a∥l
【点评】本题考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
13. 定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为 ．
参考答案：
(2,+∞)
14. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是 .
参考答案：
略
15. 以为圆心，并且与直线相切的圆的方程为__________．
参考答案：
因为点到直线的距离，
所以由题意可知，
故所求圆的方程为：．
16. 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n= ．
参考答案：
6×（2n﹣1）
【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．
【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．
当x∈[2，4）时，∈[1，2），
f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4），
f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，
同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6，
依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1．
∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1），
故答案为：6×（2n﹣1）．
【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题．
17. 给出下列命题;
①设表示不超过的最大整数，则
；
②定义在上的函数，函数与的图象关于轴对称；
③函数的对称中心为；
④已知函数在处有极值，则或；
⑤定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知 且为的“闭集”，则这样的集合共有7个。
其中正确的命题序号是____________
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)若不等式的解集是，
(1) 求的值；
(2) 求不等式的解集.
参考答案：
19. 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．
（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
参考答案：
【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1，2，3，
∴，，…（3分）
∴考生甲正确完成题目数的分布列为
ξ
1
2
3
P
∴…
（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η．
∵η～B（3，），其分布列为：
∴…（6分）
∵…（8分）
∴Dξ＜Dη
∵，…（10分）
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．…（12分）
【点评】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查概率知识 的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20. 已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）?2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）
（1）t=0，m=0时，求证：是等差数列；
（2）t=﹣1，m=是等比数列；
（3）t=0，m=1时，求数列{an}的通项公式和前n项和．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）两边同除以2n，由等差数列的定义，即可得证；
（2）两边同加上3，由等比数列的定义，即可得证；
（3）两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，再由数列恒等式，可得数列{an}的通项公式；再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）证明：t=0，m=0时，an=2an﹣1+2n，
两边同除以2n，可得=+1，
即有是首项为，公差为1的等差数列；
（2）证明：t=﹣1，m=时，an=2an﹣1+3，
两边同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），
即有数列{an+3}为首项为6，公比为2的等比数列；
（3）t=0，m=1时，an=2an﹣1+2n+3，
两边同除以2n，可得=+1+，
即为==1+，
即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=+1++1++…+1+，
=n﹣1+=n+2﹣，
则an=（n+2）?2n﹣3，
前n项和Sn=3?2+4?22+5?23+…+（n+2）?2n﹣3n，
可令Rn=3?2+4?22+5?23+…+（n+2）?2n，
2Rn=3?22+4?23+5?24+…+（n+2）?2n+1，
两式相减可得，﹣Rn=3?2+22+23+…+2n﹣（n+2）?2n+1
=4+﹣（n+2）?2n+1
=2﹣（n+1）?2n+1，
则Rn═（n+1）?2n+1﹣2，
Sn=（n+1）?2n+1﹣2﹣3n．
21. 已知四边形是菱形，，四边形是矩形，平面平面，分别是的中点.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)若平面与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案：
解: (Ⅰ)分别是的中点
所以------------①
连接与交与 ,因为四边形是菱形,所以是的中点
连,是三角形的中位线
-------