四川省乐山市第五中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在抽查产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,是其中的一组,抽查出的个体在该组上的频率为m,该组在频率分布直方图的高为h,则|a-b|等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 已知,若,则y=,y=在同一坐标系内的大致图象是
参考答案:
B
由知,,,为减函数,因此可排除A、C,而在时也为减函数,故选B
3. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥O﹣ABCD的侧面积为( )
A.20+8 B.44 C.20 D.46
参考答案:
B
【考点】球内接多面体;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】由题意求出矩形的对角线的长,结合球的半径,球心到矩形的距离,满足勾股定理,求出棱锥的高,即可求出棱锥的体积.
【解答】解:由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为:5.所以侧面中底面边长为6和2,
它们的斜高为:4和2,
所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为:S=4×6+2=44.
故选B.
【点评】本题是基础题,考查球内几何体的体积的计算,考查计算能力,空间想象能力,常考题型.
4. 设数列是等差数列,且是数列的前项和,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 已知函数,下面结论错误的是( )
A.函数的最小正周期为 B.函数是偶函数
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上是增函数
参考答案:
C
略
6. cos()的值为( )
A. B. C. ﹣ D. ﹣
参考答案:
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 原式中角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
解答: 解:cos()=cos(670+)=cos=cos(π+)=﹣cos=﹣,
故选:C.
点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
7. 的展开式中常数项为
A. B. C. D.105
参考答案:
B
二项展开式的通项为,令,解得,所以,选B
8. 函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
9. 已知函数f(x)=()x-log2x,正实数a,b,c是公差为负数的等差数列,且满足f(a)?f(b)?f(c)<0,若实数d是方程f(x)=0的一个解,那么下列四个判断:①d<a;②d<b;③d>c;④d<c中一定成立的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系,由题意画出的图象,通过方程的根与图象交点问题,由图象可得答案.
【解答】解:∵正实数a,b,c是公差为负数的等差数列,
∴0<a<b<c,
在坐标系中画出的图象:
∵f(a)?f(b)?f(c)<0,
且实数d是方程f(x)=0的一个解,
∴由图可得,a<d<c一定成立,
则①d<a不正确;②d<b不一定;
③d>c不正确;④d<c正确,
∴一定成立的个数是1个,
故选A.
【点评】本题考查等差数列的性质,指数函数、对数函数的图象,以及过方程的根与图象交点问题的转化,考查转化思想、数形结合思想.
10. 已知在复平面内对应的点在直线上,则实数m的值是
A. B.0 C.1 D.2
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设点,,直线过点且与线段相交,则的斜率的取值范围是 .
参考答案:
或
12. 已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)(x,y∈R),则f(814)= .
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用赋值法,分别求出f(1)…f(9)得出f(x)的周期是6,故求出答案.
【解答】解:∵4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y),
令x=1,y=0,
则4f(1)f(0)=f(1)+f(1),
∴f(0)=,
再令x=y=1,得f(2)=﹣,
再令x=2,y=1,得f(3)=﹣,
再令x=2,y=2,得f(4)=﹣,
再令x=3,y=2,得f(5)=,
再令x=3,y=3,得f(6)=,
再令x=4,y=3,得f(7)=,
再令x=4,y=4,得f(8)=,
再令x=5,y=4,得f(9)=﹣,
由此可以发现f(x)的周期是6,
∵2014÷6=135余4,.
∴f(814)=f(135×6+4)=f(4)=.
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题
13. 已知抛物线的准线为,过点且斜率为的直线与相交于点,与的一个交点为,若,则等于____________.
参考答案:
2
14. 给出下列命题:
⑴ 是幂函数;
⑵“”是“”的充分不必要条件;
⑶ 的解集是;
⑷ 函数的图象关于点成中心对称;
⑸ 命题“若,则”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)
参考答案:
②③⑤
略
15. 函数y=2sinx (x)在点P处的切线与函数y=lnx+x2在点Q处切线平行,则直线PQ的斜率是 .
参考答案:
16. 如图,矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中:
①|BM|是定值;
②点M在某个球面上运动;
③存在某个位置,使DE⊥A1C;
④存在某个位置,使MB∥平面A1DE.
其中正确的命题是 .
参考答案:
①②④
【考点】棱锥的结构特征.
【分析】取A1D的中点N,连结MN,EN,则可证明四边形MNEB是平行四边形,从而BMEN,于是BM∥平面A1DE,从而可判断①②④一定成立,假设③成立,则可推出DE⊥A1E,得出矛盾.
【解答】解:取A1D的中点N,连结MN,EN,
则MN为△A1CD的中位线,∴MNCD,
∵E是矩形ABCD的边AB的中点,∴BECD,
∴MNBE,
∴四边形MNEB是平行四边形,
∴BMEN,
∴BM为定值,M在以B为球心,以BM为半径的球面上,故①正确,②正确;
又NE?平面A1DE,BM?平面A1DE,
∴BM∥平面A1DE,故④正确;
由勾股定理可得DE=CE=2,∴DE2+CE2=CD2,
∴DE⊥CE,若DE⊥A1C,又A1C∩CE=C,
∴DE⊥平面A1CE,又A1E?平面A1CE,
∴DE⊥A1E,而这与∠AED=45°矛盾.故③错误.
故答案为:①②④.
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断,属于中档题.
17. 的内角的对边分别为,若成等比数列,且,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义在R上的二次函数满足,且的最小值为0,函数,又函数。
(I)求的单调区间;
(II)当≤时,若,求的最小值;
(III)若二次函数图象过(4,2)点,对于给定的函数图象上的点A(),当时,探求函数图象上是否存在点B()(),使A、B连线平行于x轴,并说明理由。
(参考数据:e=2.71828…)
参考答案:
解:(I)
可得
又在x=0时取得最小值0,
令
当x变化时,,的变化情况如下表:
(0,)
(,+)
+
0
-
增函数
极大值
减函数
所以,的单调递增区间是(0,),的单调递减区间是(,+)。
…………………………………………5分
(II)≤时,≥1,
时,的最小值为与中的较小者. ……………………7分
又
≤时,的最小值;
当时, 的最小值 ……………………9分
(III)证明:若二次函数图象过(4,2)点,则,所以
令
由(I)知在(0,2)内单调递增,
故 …………………………………………11分
取则
所以存在
即存在
所以函数图象上存在点B()(),使A、B连线平行于x轴.
………………………………………………14分
19. 已知{an}是等差数列,公差为d,首项a1=3,前n项和为Sn.令,{cn}的前20项和T20=330.数列{bn}满足bn=2(a﹣2)dn﹣2+2n﹣1,a∈R.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范围.
参考答案:
考点:数列递推式;等差数列的性质.
专题:综合题;等差数列与等比数列.
分析:(Ⅰ)利用T20=330,求出公差,即可求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)先求出bn,再根据bn+1≤bn,n∈N*,结合函数的单调性,即可求a的取值范围.
解答: 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,
因为,
所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330,
则a2+a4+a6+…+a20=330…
则
解得d=3
所以an=3+3(n﹣1)=3n…
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn=2(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2(a﹣2)3n﹣1+2n﹣
=4(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1=
由bn+1≤bn?…
因为随着n的增大而增大,
所以n=1时,最小值为,
所以…
点评:本题考查数列的通项,考查数列与不等式的联系,考查学生的计算能力,属于中档题.
20. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),直线l经过点P(2,2),倾斜角。
(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程;
(2)设l与圆C相交于A、B两点,求的值。
参考答案:
(Ⅰ)圆的标准方程为.
直线的参数方程为,即(为参数) …… 5分
(Ⅱ)把直线的方程代入,
得,,
所以,即. …… 10分
21. 已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
参考答案:
(Ⅰ)因为
由;由,所以在上递增,在上递减,欲在上为单调函数,
(Ⅱ)因为在上递增,在上