四川省资阳市通贤中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则（） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解． 【详解】由题意，可得 ，故选A． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2. 已知函数，若则的取值范围是 （  ）    A.                       参考答案： 【知识点】函数的奇偶性，解不等式.     B4   E3 【答案解析】C  解析：因为，所以是偶函数，所以为，解得，所以选C. 【思路点拨】先确定是偶函数，所以为，解得. 3. 已知集合，则（ ） A．         B．(－∞,－2)∪(1,+∞)       C．(－2,－1)       D．(－2,－1)∪(1,+∞) 参考答案： C 由题意得，集合 或，所以，所以C.   4. 与向量＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为(　 ) A．(-1,3，-2)        B. (-1，-3,2)    C．(1,3,2)     D．(1，-3，-2) 参考答案： A 略 5. 执行如图所示的程序框图，则输出S=（    ） A. 26 B. 57 C. 120 D. 247 参考答案： B 试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 故选B. 考点：程序框图. 【方法点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量的值，并输出时，变量的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果. 6. 函数的最小值为（   ） A.-2  B.-1   C.-6  D.-3 参考答案： B 7. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是 A．命题“∧”是真命题       B．命题“（┐）∧”是真命题 C．命题“∧（┐）”是真命题  D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题 参考答案： B 略 8. 设复数eiθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（　　） A． B． C． i D． i 参考答案： B 【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】把代入已知条件，求出三角函数值即可得到复数的虚部． 【解答】解：由eiθ=cosθ+isinθ，得e=， ∴复数e的虚部为． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题． 9. 在△ABC中,∠BAC=60°, AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点(E为靠近点C的三等分点),则等于(　　) 参考答案： A 略 10. 直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（　　） A． B．2 C． D． 参考答案： C 【考点】定积分． 【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积． 【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直， ∴直线l的方程为y=1， 由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． ∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣）|=． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. (选修4—1 几何证明选讲）如图，已知的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为        ； 参考答案： 5 12. 设向量，，，若，则实数 ． 参考答案： 3 13. 不等式的解集是       . 参考答案： 14. 若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是                                   。 参考答案： 略 15. 如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则 （1）；（2） 参考答案： (1)；(2) 本题考查几何概型，条件概率公式同时考查圆面积和正方形面积的计算，难度中等。（1）圆的面积为，圆内接正方形面积为所以。（2）扇形区域OHE的面积为，所以,，则,所以。 16. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________ 参考答案： 17. 某运动队对A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C或D参加比赛”；  乙说：“是B参加比赛”；丙说：“是A，D都未参加比赛”；  丁说：“是C参加比赛”．若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是　　． 参考答案： B 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】根据题意，依次假设参赛的运动员为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 【解答】解：根据题意，A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛， 假设参赛的运动员为A，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意； 假设参赛的运动员为B，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意； 假设参赛的运动员为C，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意； 假设参赛的运动员为D，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意； 故获得参赛的运动员是B； 故选：B． 【点评】本题考查了合情推理的问题，注意“这四位教练中只有两位说的话是对”的之一条件． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”． （I）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由; （II）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值． 参考答案： 解：（I）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中． ………………4分 （II）具有“性质”，，， ，从而得到是以2为周期的函数．又设，则， ． 再设， 当（），，则， ； 当，则，； 对于（），都有，而，，是周期为1的函数． ①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得 ②当时，同理可得 ③当时，不合题意． 综上所述…………………………14分   略 19. 在中，内角对边的边长分别是，已知，． （1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积． 参考答案： （Ⅰ）由余弦定理得，， 又因为的面积等于，所以，得． 联立方程组解得，． （Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 联立方程组解得，． 所以的面积． 考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式. 20. 本题满分14分） 已知函数，且其导函数的图像过原点. (1)当时，求函数的图像在处的切线方程; (2)若存在，使得，求的最大值； (3)当时，求函数的零点个数。 参考答案： 解: , 由得  ,.                 ---------------------2分 (1) 当时, ,，, 所以函数的图像在处的切线方程为,即------------4分 (2) 存在,使得,   ，， 当且仅当时，所以的最大值为.       --------------- -----------------9分 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增  (3) 当时，的变化情况如下表：             ----11分 的极大值， 的极小值 又，. 所以函数在区间内各有一个零点， 故函数共有三个零点。--------------------14分 注：①证明的极小值也可这样进行: 设， 则 当时, ,当时, , 函数在区间上是增函数,在区间上是减函数, 故函数在区间上的最大值为, 从而的极小值. ②证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值， 的极小值, 当无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于 故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。 21. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若对恒成立，求a的取值范围. 参考答案： （1）因为， 所以当时，由得； 当时，由得； 当时，由得. 综上，的解集为. （2）（方法一）由得， 因为，当且仅当取等号， 所以当时，取得最小值5， 所以当时，取得最小值5， 故，即的取值范围为. （方法二）设，则，当时，取得最小值5， 所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为. 22. 已知函数f（x）=a+（bx﹣1）ex，（a，b∈R） （1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值； （2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得，求出a，b的值即可； （2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=bex+（bx﹣1）ex=（bx+b﹣1）ex， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x， ∴，∴，解得：； （2）当b=2时，f（x）=a+（2x﹣1）ex，（a＜1）， 关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个， 等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）ex﹣ax＜0的整数解有且只有1个， 构造函数F（x）=a+（2x﹣1）ex﹣ax，x∈R， 故F′（x）=ex（2x+1）﹣a， 1°x≥0时，∵ex≥1，2x+1≥1，故ex（2x+1）≥1， 又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增， ∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0， ∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0； 2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0， 即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0， ∵x≤﹣1，∴ex（2x+1）＜0， ①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减， ∴≤a＜1； ②当a＜0时，F（﹣﹣1）=﹣+2a＜0，不合题意， 综上，a的范围是[，1）．