四川省乐山市井研县纯复乡中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A. B.3 C. D.2
参考答案:
B
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.
【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,
∵=4,
∴|PQ|=3d,
∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2,
∵F(2,0),
∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),
与y2=8x联立可得x=1,
∴|QF|=d=1+2=3,
故选:B.
2. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 已知函数的图象如图所示,则满足的关系是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 已知,下列程序框图设计的是求的值,在“*”中应填的执行语句是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 已知P是直线上的动点,PA、PB是圆的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ( )
A. B.2 C. D.2
参考答案:
6. 将参数方程化为普通方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析: 转化为普通方程:,但是
7. 已知命题p:,且a>0,有,命题q:,,则下列判断正确的是
A.p是假命题 B.q是真命题
C.是真命题 D.是真命题
参考答案:
C
略
8. 若角α的终边过点(﹣1,2),则cos(π﹣2α)的值为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
参考答案:
A
【考点】任意角的三角函数的定义.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值,再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos(π﹣2α)的值.
【解答】解:∵角α的终边过点(﹣1,2),∴cosα=,
则cos(π﹣2α)=﹣cos2α=﹣(2cos2α﹣1)=1﹣2cos2α=1﹣=,
故选:A.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
9. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,.若点在圆上,则实数
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为3的正三角形,,则三棱锥P-ABC的体积为( )
A.3 B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足,则数列{an}的公差是 .
参考答案:
2
【考点】8F:等差数列的性质.
【分析】在题设条件的两边同时乘以6,然后借助前n项和公式进行求解.
【解答】解:∵,
∴,
∴6a1+6d﹣6a1﹣3d=6,
∴d=2.
故答案为:2.
12. 若数列{an}是公差不为0的等差数列,lna1、ln a2、ln a5成等差数列,则的值为 .
参考答案:
3
∵ln、ln、ln成等差数列,
∴,故,又公差不为0,解得,
∴.
13. (选修4—1 几何证明选讲)如图:EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=460,∠DCF=320,则∠A的度数是 ;
参考答案:
14. 若实数满足,则的取值范围是
参考答案:
15. 已知是奇函数,且.若,则_____
参考答案:
-1
16. 设i是虚数单位,复数的模为1,则正数a的值为_______.
参考答案:
【分析】
先化简复数,再解方程即得解.
【详解】由题得,
因为复数z的模为1,
所以,解之得正数a=.
故答案为:
【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17. 已知函数满足:①对任意,恒有;②当时,.则 ;方程的最小正数解为 .
参考答案:
,
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,数列的前项和为.
参考答案:
(1)∵是和的等差中项,∴
当时,,∴ ----2分
当时,,
∴ ,即
∴数列是以为首项,为公比的等比数列, ∴,----5分
设的公差为,,,∴
∴ --------7分
(2) ----9分
∴ ----12分
19. 在中,角A、B、C所对的边分别为、、.已知向量,,且.
(Ⅰ) 求角的大小;
(Ⅱ) 若,求边的最小值.
参考答案:
解:(1)由已知,可得 ,即
.…………3分
由正弦定理,得,…………5分
∴ ,
由 ∴. …………7分
(2)由已知,得,…………10分
∴ …………11分
∴ ,即的最小值为…………14分
略
20. (Ⅰ)叙述并证明平面向量基本定理:
(Ⅱ)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角为4,求的大小和建筑物AE的高。
参考答案:
解:(Ⅰ)平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使.
证明:在平面内任取一点,作过点作平行于直线的直线,与直线交于点;过点作平行于直线的直线,与直线交于点.由向量的线性运算性质可知,存在实数,使得,.由于,所以. .6分
(Ⅱ)由已知可得在ACD中,AC=BC=30, AD=DC=10,
ADC =180-4, = .
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15, 在RtADE中,AE=ADsin60=15
答:所求角为15,建筑物高度为15m 12分
21. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
当时,由,解得;
当时,,不成立;
当时,由,解得.
所以不等式的解集为........................5分
(2)∵,∴,
又不等式的解集不是空集,
所以,,所以,
即实数的取值范围是............................10分
考点:绝对值定义,绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.
22. 已知数列{an}满足:Sn=1﹣an(n∈N*),其中Sn为数列{an}的前n项和.
(Ⅰ)试求{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:(n∈N*),试求{bn}的前n项和公式Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】计算题.
【分析】(Ⅰ)先把n=1代入求出a1,再利用an+1=Sn+1﹣Sn求解数列的通项公式即可.
(Ⅱ)把(Ⅰ)的结论代入,发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列,故直接利用数列求和的错位相减法求和即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵Sn=1﹣an①
∴Sn+1=1﹣an+1 ②
②﹣①得an+1=﹣an+1+an?an;
n=1时,a1=1﹣a1?a1=
(Ⅱ)因为 bn==n?2n.
所以 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n ③
故 2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1 ④
③﹣④﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=
整理得 Tn=(n﹣1)2n+1+2.
【点评】本题的第一问考查已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式,第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.