天津南开外国语高级中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数,函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 执行下面的框图,若输入的N是6,则输出p的值是 ( )
A.120 B.720 C.1440 D.5040
参考答案:
【知识点】算法与程序框图L1
B
开始运行时,p=1,k=1<6,
经过第一次循环得到,k=2,p=2,k<6
经过第二次循环得到 k=3,p=6,k<6
经过第三次循环得到 k=4,p=4×6=24,k<6,
经过第四次循环得到,k=5,p=5×24=120,k<6,
经过第五次循环得到 k=6,p=6×12=720,
k=6<6不满足判断框中的条件,执行输出,
故输出结果为720.
【思路点拨】按照程序框图的流程,写出前五次循环的结果,直到第五次不满足判断框中的条件,执行输出结果.
3.
设f(n)=N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
参考答案:
答案:C
4. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是,则输入的的值为
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 为等差数列的前项和,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 数列{an}中,an>0,a1=1,an+2=,若a20=a16,则a2+a3=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点:数列递推式.
专题:点列、递归数列与数学归纳法.
分析:由数列递推式求出a3,结合a20=a16求得a16,然后由an+2=,可得a16=a2,则答案可求.
解答: 解:由a1=1,an+2=,得.
,
即.
∵an>0,∴.
则由an+2=及求得.
∴a2+a3=.
故选:B.
点评:本题考查了数列递推式,解答此题的关键是对数列规律性的发现,是中档题.
7. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是( )
A . B. C. D.
参考答案:
C
对应的点的坐标是,故选C.
8. .已知函数在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 若函数,又,且的最小值为,则正数的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 记数列{an}的前n项和为Sn.已知,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且,
则该三棱锥的外接球的体积为 .
参考答案:
-1
12. 设数列{an}的前n项和为Sn,已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列,则{an}的通项公式an= .
参考答案:
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】由等比数列的通项公式可得Sn =3n,再由a1=s1=3,n≥2时,an=Sn ﹣sn﹣1,求出{an}的通项公式.
【解答】解:∵数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列,∴Sn =3n.
故a1=s1=3,n≥2时,an=Sn ﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1,
故an=.
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式,数列的前n项的和Sn与第n项an的关系,属于中档题.
13. 一个三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的体积是 .
参考答案:
14. 设a>0,b>0,若a+b=4,则的最小值为 .
参考答案:
【考点】基本不等式.
【分析】由已知得=,由此利用均值定理能求出的最小值.
【解答】解:∵a>0,b>0,a+b=4,
∴==++≥+2=.
当且仅当时取等号,
∴的最小值为.
故答案为:.
15. 已知函数,若,且,则的取值范围是 .
参考答案:
(-1,1)
16. 设,若,设a=
参考答案:
1
17. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知曲线C1的参数方程为(其中θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0.
(1)分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程;
(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求线段AB的长.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C1的参数方程为(其中θ为参数),利用平方关系消去参数θ可得曲线C1的普通方程.曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0,利用互化公式可得直角坐标方程.
(2)直线方程与椭圆联立可得7x2+8x﹣8=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出.
【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(其中θ为参数),消去参数θ可得:曲线.
曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0,可得直角坐标方程:曲线C2:x﹣y+1=0.
(2)联立,得7x2+8x﹣8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,
于是.
故线段AB的长为.
19. (本小题满分16分)已知数列有,对任意的,有.
(1)求的值; (2)判断数列是否为等差数列;
(3)对于数列,假如常数满足对任意的*都有成立,则称为数列的“上界”.令,求证:3是数列的“上界”.
参考答案:
(1),即; ………………………………………2分
(2)当n=1时,; ………………………………………3分
20. 设
(1)求函数的单调区间;
(2)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线的斜率大于常数,求实数的取值范围
参考答案:
解:(1)的定义域R,
当时,在上恒成立,即的单调递增区间为R
当时,令,解得
令,解得
所以,的单调递增区间是,单调递减区间是
综上所述,当时,的单调递增区间为R
当时,的单调递增区间是,单调递减区间是
略
21. 已知函数f(x)=x2﹣x|x﹣a|﹣3a,a>0.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)求函数在x∈[0,3]上的最值;
(3)当a∈(0,3)时,若函数f(x)恰有两个不同的零点x1,x2,求的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可;
(2)通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可;
(3)求出f(x)的根,求的表达式,得到其范围即可.
【解答】解:(1)
x≤1时,函数f(x)的对称轴是x=,开口向上,
故f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2),
当0<a≤3时,f(x)=2x2﹣ax﹣3a的对称轴是x=<1,
∴f(x)在[0,)递减,在(,3]递增,
而f(0)=﹣3a<f(3)=0,
∴f(x)的最小值,最大值f(3);
当3<a<6时,对称轴x=,1<<3,
故f(x)在[0,)递减,在(,3]递增,
∴f(x)的最小,最大值f(3),
当6≤a<12时,
最小值,最大值f(0)
当a≥12时,最小值f(3),最大值f(0)
(3)
当0<a<3时,令f(x)=0,可得,
(因为f(a)=a2﹣3a<0,所以x3>a舍去)
所以,
在0<a<3上是减函数,所以.
22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合.设点为坐标原点, 直线与曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线与曲线的普通方程;
(2)设直线与曲线相交于A,B两点,求证:.
参考答案:
(I)直线: 曲线:, ………………5分
(II)设,由消去得
…………………7分
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16
∴ x1x2+ y1y2= 2x1x2-4(x1+x2)+16=0. …………………10分