广西壮族自治区崇左市昌平中学2023年高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列满足,则 ( )
A.64 B.81 C.128 D.243
参考答案:
B
略
2. 设函数在内有定义.对于给定的正数,定义函数
取函数,若对任意的,恒
有,则( )
A.的最大值为2 B. 的最小值为2
C.的最大值为1 D. 的最小值为1
参考答案:
D
3. 某班有名男生,名女生,现要从中选出人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于人的选法为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D 解析: 男生人,女生人,有;男生人,女生人,有
共计
4. 已知x,y为正实数,且满足,则的最大值是
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否安装电话,调查的结果如表所示,则该小区已安装电话的户数估计有( )
电话
动迁户
原住户
已安装
65
30
未安装
40
65
A.300户 B.6500户 C.9500户 D.19000户
参考答案:
C
【考点】总体分布的估计.
【专题】概率与统计.
【分析】首先根据图表提供的数据算出200户居民中安装电话的频率,用总住户乘以频率即可.
【解答】解:由图表可知,调查的200户居民中安装电话的有95户,
所以安装电话的居民频率为95:200根据用户样本中已安装电话的频率得:20000×=9500.
所以该小区已安装电话的住户估计有9500(户).
故选C.
【点评】本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征,用样本的频率分布估计总体的分布,解答此类问题的关键是利用频率相等,是基础题
6. 火星的半径约是地球半径的一半,则地球的体积是火星的( )
A. 4倍 B. 8倍 C. 倍 D. 倍
参考答案:
B
略
7. 阅读上图的程序框图, 若输出的值等于, 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 ( )
A.? B.? C.? D.?
参考答案:
A
8. 点P是曲线y=x2-lnx上任意点,则点P到直线y=x-2的最短距离为( )
A.1 B. C. D.3
参考答案:
B
9. 已知x > 0、y > 0、 + = 1. 若x + 2y >m-2m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥4或m≤-2 B. -2<m<4 C. m≥2或m≤-4 D. -4<m<2
参考答案:
B
略
10. 设等差数列{an}满足(1﹣a1008)5+2016(1﹣a1008)=1,(1﹣a1009)5+2016(1﹣a1009)=﹣1,数列{an}的前n项和记为Sn,则( )
A.S2016=2016,a1008>a1009 B.S2016=﹣2016,a1008>a1009
C.S2016=2016,a1008<a1009 D.S2016=﹣2016,a1008<a1009
参考答案:
C
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】(1﹣a1009)5+2016(1﹣a1009)=﹣1,变为:(﹣1+a1009)5+2016(﹣1+a1009)=1,令f(x)=x5+2016x﹣1,f′(x)=5x4+2016>0,因此方程f(x)=0最多有一个实数根.由f(0)<0,f(1)>0,因此f(x)=0有一个实数根x0∈(0,1).再利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出.
【解答】解:(1﹣a1009)5+2016(1﹣a1009)=﹣1,变为:(﹣1+a1009)5+2016(﹣1+a1009)=1,
令f(x)=x5+2016x﹣1,f′(x)=5x4+2016>0,因此方程f(x)=0最多有一个实数根.
∵f(0)=﹣1<0,f(1)=2016>0,
因此f(x)=0有一个实数根x0∈(0,1).
∴1﹣a1008=a1009﹣1>0,
可得a1008+a1009=2,a1008<1<a1009.
S2016===2016.
故选:C.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 .
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】先求出基本事件总数n=90,再求出这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+30﹣15=60,由此能求出这个数能被2或3整除的概率.
【解答】解:在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,基本事件总数n=90,
这个数能被2或3整除包含的基本事件个数m=45+30﹣15=60,
∴这个数能被2或3整除的概率是p==.
故答案为:.
12. 直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是
参考答案:
(—, )
13. 某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控,从中抽取200辆汽车进行测速分析,得到如图所示的频率分布直方图,根据该图,可估计这组数据的平均数和中位数依次为__________.
参考答案:
略
14. “”是“”的______________条件。(填充要,充分不必要,必要不充分,既不充分又不必要)
参考答案:
充分不必要
15. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则其离心率为 .
参考答案:
2或
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°,得双曲线的两条渐近线的斜率±或,由于不知双曲线的焦点位置,故通过讨论分别计算离心率,由或,再由双曲线中c2=a2+b2,求其离心率即可
【解答】解:∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°,且渐近线关于x、y轴对称,
若夹角在x轴上,则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°,150°,斜率为
若夹角在y轴上,则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°,120°,斜率为
①若双曲线的焦点在x轴上,则或
∵c2=a2+b2
∴或
∴或e2﹣1=3
∴e=或e=2
②若双曲线的焦点在y轴上,则或
∵c2=a2+b2
∴或
∴或e2﹣1=3
∴e=或e=2
综上所述,离心率为2或
故答案为 2或
【点评】本题考查了双曲线的几何性质,由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键
16. 已知,,若向量与共线,则在方向上的投影为______.
参考答案:
,由向量 与 共线,得 ,解得 ,则 ,故答案为.
17. 已知圆C过点(1,0),且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆C的标准方程为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆C的右焦点F作直线,使,又与交于P,
设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图).
(1)当与的夹角为,且△POF的面积为时,求椭圆C的方程;
(2)当时,求当取到最大值时椭圆的离心率.
参考答案:
解:
(1)的斜率为,的斜率为,由与的夹角为,得.
整理,得. ①
由得.由,得.
∴ . ②
由①②,解得,.∴ 椭圆C方程为:.
(2)由,及,得.
将A点坐标代入椭圆方程,得.
整理,得,
∴ 的最大值为,此时.
略
19. 已知关于x的函数
(Ⅰ)当a=﹣1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a取值范围.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;51:函数的零点.
【分析】(Ⅰ)a=﹣1时,求函数f(x)的导数,利用导数判定f(x)的单调性与极值并求出;
(Ⅱ)求F(x)的导数,利用导数判定F(x)的单调性与极值,从而确定使F(x)没有零点时a的取值.
【解答】解:(Ⅰ)因为函数,
所以,x∈R;
当a=﹣1时,f(x),f′(x)的情况如下表:
x
(﹣∞,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以,当a=﹣1时,函数f(x)的极小值为f(2)=﹣e﹣2;
(Ⅱ)因为F(x)=f(x)+1,
所以F′(x)=f′(x)=,
①当a<0时,F(x),F′(x)的情况如下表:
x
(﹣∞,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
﹣
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
因为F(1)=1>0,
若使函数F(x)没有零点,需且仅需,解得a>﹣e2,
所以此时﹣e2<a<0;
②当a>0时,F(x),F′(x)的情况如下表:
x
(﹣∞,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
f(x)
↗
极大值
↘
因为F(2)>F(1)>0,且,
所以此时函数F(x)总存在零点.
综上所述,所求实数a的取值范围是{a|﹣e2<a<0}.
20. (2015秋?成都校级月考)(文科)如图,已知抛物线C:y=x2,点P(x0,y0)为抛物线上一点,y0∈[3,5],圆F方程为x2+(y﹣1)2=1,过点P作圆F的两条切线PA,PB分别交x轴于点M,N,切点分别为A,B.
①求四边形PAFB面积的最大值.
②求线段MN长度的最大值.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】①四边形PAFB面积S=2S△APF=2,求出|AP|的最大值,即可求四边形PAFB面积的最大值.
②求出M,N的坐标,表示出|MN|,即可求线段MN长度的最大值.
【解答】解:①设P(x0,x02),则x02∈[3,5],x02∈[12,20],
由题意,∠FAP=90°,∠FBP=90°,
△AFP中,|AP|==,
令x02=t∈[12,20],则|AP|=,
四边形PAFB面积S=2S△APF=2=,
最大值为,此时x02=20,即y0=5时取到;
②设P(x0,x02),则圆的切线方程为y﹣x02=k(x﹣x0).
由点到直线的距离公式可得=1
∴(x02﹣1)k+2x0(1﹣x02)k+(1﹣x02)2﹣1=0,
设两根为k1,k2,则k1+k2=﹣,k1k2=,
∵M(x0﹣x02,0),N(x0﹣x02,0),
∴|MN|=x02|﹣|=2?(x02=t∈[12,20],t﹣8=m∈[4,12])
∴|MN|=2?,
令=p∈[,],
∴|MN|=2,最大值为2,p=,即y0=3时取到.
【点评】本题考查圆锥曲线的综合,考查四边形面积的计算,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21. (本小题