广西壮族自治区柳州市新兴农场中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线2x-y+3=0的倾斜角所在区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则= ( )
A. B. C. D.4
参考答案:
C
3. 一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是 ( )
(A)(0o,90o) (B)[0o,90o] (C)[0o,180o] (D)[0o,180o]
参考答案:
B
略
4. 在中,若, ,此三角形面积,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
5. 设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
①;②;③;④
其中为真命题的是( ).
A.①④ B.①③ C.②③ D.②④
参考答案:
B
①利用平面与平面平行的性质定理可知:,,则,故①正确;
②,,则与可能平行,也可能相交,故②错误;
③,且,因为,所以,所以,故③正确;
④,或,故④错误.
综上所述,真命题是:①③.故选.
6. 椭圆上有一点P到左准线的距离是5,则点P到右焦点的距离是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
7. 观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为
A.23 B.75 C.77 D.139
参考答案:
B
观察可得,上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,22,23,…,所以b=26=64,又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,所以a=11+64=75,故选B.
8. 若,则是方程表示双曲线的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
9. 已知抛物线:的焦点为,准线为,
是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则=( )
. . .3 .2
参考答案:
C
10. 如图,在长方体中,点分别是棱上的动点,,直线与平面所成的角为30°,则的面积的最小值是( )
A. B.8 C. D.10
参考答案:
B
以C为原点,以CD,CB,CC′为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则C(0,0,0), 设P(0,a,0),Q(b,0,0),于是0<a≤4,0<b≤3.
设平面PQC′的一个法向量为 则 令z=1,得
a2b2≥2ab,解得ab≥8.
∴当ab=8时,S△PQC=4,棱锥C′-PQC的体积最小,
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°,∴C到平面PQC′的距离d=2
∵VC′-PQC=VC-PQC′,
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
12. 在1000mL的水中有一条蚊子幼虫,现从中随意取出10mL水样放到显微镜下观察,则发现蚊子幼虫的概率是 。
参考答案:
13. 某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析,随机抽取了分数在[100,150]的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图(如图所示),则成绩在[120,130)内的学生共有 人.
参考答案:
300
【考点】频率分布直方图.
【分析】根据频率和为1,求出成绩在[120,130)内的频率与频数即可.
【解答】解:根据频率和为1,得成绩在[120,130)内的频率为
1﹣(0.010+0.020+0.025+0.015)×10=0.3,
所以成绩在[120,130)内的学生共有
1000×0.3=300.
故答案为:300.
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题目.
14. 已知x,y满足约束条件 ,若z=a(4x+2y)+b(a>0,b>0)的最大值为7,则的最小值为 .
参考答案:
7
【考点】简单线性规划.
【分析】由x,y满足约束条件,画出可行域:利用图象可知:当z=a(4x+2y)+b直线过(2,﹣1)时,z取得最大值7.得到6a+b=7.再利用基本不等式即可得出答案.
【解答】解:由x,y满足约束条件,画出可行域:
∵a>0,b>0,z=a(4x+2y)+b,
∴y=﹣2x+,其斜率﹣2<0,在y轴上的截距为,
由图象可知:当此直线过点(2,﹣1)时,z=a(4x+2y)+b取得最大值7.
即6a+b=7.
∴+=(+)(6a+b)=(37++)≥(37+2)=7,
当且仅当a=b=1时取等号.
∴+的最小值为7.
故答案为:7
15. 调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.
参考答案:
16. 已知函数,其导函数为,设,则 .
参考答案:
-9900.
略
17. 若直线,始终平分圆的周长,则的最小值为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知命题 :表示双曲线,命题 : 表示椭圆。
(1)若命题与命题 都为真命题,则 是 的什么条件?
(请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个)
(2)若 为假命题,且 为真命题,求实数 的取值范围。
参考答案:
(1)解:∵命题 : 表示双曲线是真命题,
∴ ,
解得 。
又∵命题 : 表示椭圆是真命题,
∴
解得 或
∵
∴ 是 的必要不充分条件。
(2)解:∵ 为假命题,且 为真命题
∴ 、 为“一真一假”,
当 真 假时,由(1)可知,
为真,有 ,①
为假, 或 或 ②
由①②解得 或
当 假真时,由(1)可知,
为假,有 或 ,③
为真,有 或 ④
由③④解得,无解
综上,可得实数 的取值范围为 或。
19. (本小题满分12分)设命题:,命题:;
如果“或”为真,“且”为假,求的取值范围。
参考答案:
20. 设函数f(x)=lnx﹣ax+﹣1.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当a=时,求函数f(x)的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设函数g(x)=x2﹣2bx﹣,若对于?x1∈[1,2],?x1∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,求出切线的斜率和切点坐标,即可得到切线方程;
(2)求出导数,令导数大于0,得到增区间,令小于0,得到减区间,注意定义域;
(3)对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值.讨论b<0,0≤b≤1,b>1,g(x)的最小值,检验它与f(x)的最小值之间的关系,即可得到b的范围.
【解答】解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=﹣a﹣
(1)当a=1时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2,
f′(x)=﹣1,∴f′(1)=0
∴f(x)在x=1处的切线方程为y=﹣2.
(2)f′(x)=﹣=﹣.
∴当0<x<1,或x>2时,f′(x)<0;
当1<x<2时,f′(x)>0.
当a=时,函数f(x)的单调增区间为(1,2);单调减区间为(0,1),(2,+∞).
(3)当a=时,由(2)可知函数f(x)在(1,2)上为增函数,
∴函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=﹣
若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立
?g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值(*)
又g(x)=x2﹣2bx﹣=(x﹣b)2﹣b2﹣,x∈[0,1],
①当b<0时,g(x)在[0,1]上为增函数,
[g(x)]min=g(0)=﹣>﹣与(*)矛盾
②当0≤b≤1时,[g(x)]min=g(b)=﹣b2﹣,
由﹣b2﹣及0≤b≤1,得,≤b≤1;
③当b>1时,g(x)在[0,1]上为减函数,
[g(x)]min=g(1)=﹣2b及b>1得b>1.
综上,b的取值范围是[,+∞).
21. (本题满分10分,其中(1)6分、(2)4分)设为数列{}的前n项和,已知
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求的值.
参考答案:
(1)n=1 a1=2a1-1, a1=1 ------------------------------2分
n≥2, =Sn-Sn-1=(2-1)-(2-1) =2-2 -------------------3分
=2 ---------------------------------4分
是以1为首项,2为公比的等比数列,=2n-1------------------6分
(2)由得 ---------------8分
是以为首项,以为公比的无穷等比数列,
= ----------------------------10分
22. (本小题12分)已知p:x∈A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2-2mx+m2-9≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)A={x|-1≤x≤3,x∈R},
B={x|m-3≤x≤m+3,x∈R,m∈R},
由A∩B=[1,3],得m-3=1.m=4
(2)∵p是q的充分不必要条件,∴,
∴