广西壮族自治区桂林市恭城中学高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32 m(即OM长),巨轮的半径长为30 m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过t分钟,该吊舱P距离地面的高度为h(t) m,则h(t)等于( )
A. 30sin (t-)+30 B. 30sin (t-)+30
C. 30sin (t-)+32 D. 30sin (t-)
参考答案:
B
试题分析:过点作地面平行线,过点作的垂线交于点.点在上逆时针运动的角速度是,∴秒转过的弧度数为,设,当时,,,当时,上述关系式也适合.故.
考点:在实际问题中建立三角函数模型.
2. 函数的定义域为().
A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2)
参考答案:
解:要使函数有意义,则需满足,解得:,
∴函数的定义域是.
故选:.
3. (5分)下列函数中,在其定义域上是增函数的是()
A. y=﹣2x B. y=()x C. y=logx D. y=x
参考答案:
C
考点: 函数的单调性及单调区间.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 运用常见函数的单调性,即可得到在其定义域上是增函数的函数.
解答: 对于A.y=﹣2x在R上递减,则A不满足条件;
对于B.为底数小于1的指数函数,在R上递减,则B不满足条件;
对于C.为底数小于1的对数函数,在x>0上递减,则C不满足条件;
对于D.为幂函数,且幂指数大于0,在
所以|AB|==2,解得x=6或x=﹣2,
则实数x的值是6或﹣2.
故选:C.
点评: 本小题主要考查空间直角坐标系,考查空间两点间的距离公式的应用,考查计算能力,属于基础题.
4. 幂函数的图象过点(2,),则它的单调增区间是( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
参考答案:
D
本题主要考查的是幂函数的图像与性质。设幂函数为,因为图像过,所以 。由幂函数的性质:当时,在上是减函数。又为偶函数,所以在上是增函数。应选D。
5. 若函数在区间上是减函数,在区间上是增函数则实数的值是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
6. 已知全集,,,那么( )
A.{5} B.{1,3,7} C.{2,8} D.{1, 3,4,5,6,7,8}
参考答案:
B
7. 对一切实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.,-2] B.[-2,2] C.[-2, D.[0,
参考答案:
C
8. 若函数f(x)=x2﹣2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为( )
A.[﹣3,3] B.[﹣1,3] C.{﹣3,3} D.[﹣1,﹣3,3]
参考答案:
C
【考点】二次函数在闭区间上的最值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1,将对称轴移动,讨论对称轴与区间[a,a+2]的位置关系,合理地进行分类,从而求得函数的最小值
【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,对称轴x=1,
∵区间[a,a+2]上的最小值为4,
∴当1≤a时,ymin=f(a)=(a﹣1)2=4,a=﹣1(舍去)或a=3,
当a+2≤1时,即a≤﹣1,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=﹣3,
当a<a<a+2时,ymin=f(1)=0≠4,
故a的取值集合为{﹣3,3}.
故选:C.
【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键.由于对称轴所含参数不确定,而给定的区间是确定的,这就需要分类讨论.利用函数的图象将对称轴移动,合理地进行分类,从而求得函数的最值,当然应注意若求函数的最大值,则需按中间偏左、中间偏右分类讨论
9. 对于任意实数,下列等式一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 下列符号判断正确的是( )
A.sin4>0 B.cos(﹣3)>0 C.tan4>0 D.tan(﹣3)<0
参考答案:
C
【考点】GC:三角函数值的符号.
【分析】直接根据三角函数值的符号判断即可.
【解答】解:对于A:∵π<4<,∴sin4<0,tan4>0,∴A不对,C对;
对于B:cos(﹣3)=cos3,∵,∴cos(﹣3)=cos3<0,tan(﹣3)=﹣tan3>0,∴B,D不对;
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 开始时,桶1中有aL水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线,那么桶2中水就是,假设过5分钟时,桶1与桶2的水相等,则再过___分钟桶1中的水只有.
参考答案:
10
12. 已知函数,则= .
参考答案:
3
13. 非空集合,并且满足则,那么这样的集合S一共有 个。
参考答案:
7
14. 已知a,b为正实数,且,则的最小值为
参考答案:
略
15. 两圆相交于两点和,两圆圆心都在直线上,且均为实数,则_______。
参考答案:
3
略
16. 已知底面半径为r,高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积,则= .
参考答案:
【考点】LG:球的体积和表面积.
【分析】利用底面半径为r,高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积,建立方程,即可得出结论.
【解答】解:设球的半径为R,
则球的表面积S球=4πR2
因为底面半径为r,高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积,
所以8πr2=4πR2;
所以=.
故答案为.
17. 设x,y∈R+,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值为 .
参考答案:
2
【考点】对数的运算性质.
【分析】利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵x,y∈R+,且x+4y=40,∴40≥,解得xy≤100,当且仅当x=4y=20时取等号.
则lgx+lgy=lg(xy)≤2,因此其最大值为2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量, ,函数
(1)求函数的单调增区间
(2)将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的值域.
参考答案:
(1) 1, ;(2) .
试题分析: (1)由已知化简可得,可得最大值,利用周期公式可求的最小正周期;
(2)由图象变换得到,从而求函数的值域.
试题解析:
试题解析:(1)
. 所以的最大值为1,最小正周期为.
(2)由(1)得.将函数的图象向左平移个单位后得到
的图象. 因此,又,所以,.故在上的值域为.
19. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、D1B的中点.
求证:(1)平面;
(2)平面.
参考答案:
(本小题满分15分)
(1)证明: E、F分别是D1D、D1B的中点
又面ABCD,DB面ABCD
EF// 面ABCD
(2)在正方体中,DD1面ABCD
AC面ABCD
ACDD1
正方形ABCD, ACDB
又DD1 DB=D,
DD1 ,DB平面
平面
略
20. 已知数列{an}满足,且
(1)求;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3),求{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1),,;(2);(3)
【分析】
(1)由,,代入即可求解的值;
(2)由,则,利用累加法,即可求解数列的通项公式;
(3)由,所以 ,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的前n项和.
【详解】(1)由题意,数列满足,且,
则,,,
即,,.
(2)由题意,知,则,
累加法可得,
所以数列的通项公式.
(3)由,所以 ,
所以 ①
两边同时乘可得, ②
②-①得,
即数列的前项和.
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
21. (本小题满分12分)
已知圆和轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长为.求圆的方程.
参考答案:
解: 圆心在直线上,
设圆心为 …………………………2分
又 圆和轴相切
半径 …………………………………………4分
又被直线截得的弦长为
……………………………………………6分
又 ………………………………………8分
………………………………………………10分
圆的方程为…………………………12分
22. 已知二次函数有两个零点1和-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设,试判断函数g(x)在区间(-1,1)上的单调性并用定义证明;
(3)由(2)函数g(x)在区间(-1,1)上,若实数t满足,求t的取值范围.
参考答案:
(1)由题意得-1和1是函数的两根……………………1分
所以 ……………………2分
解得, 所以 ……………………3分
(2) 函数在区间(-1,1)上是减函数。…………………4 分
证明如下: 设,则
…………………6 分
∵
,,
,即
函数g(x)在区间(-1,1)上是减函数。………………………8 分
(3)
又由(2)函数g(x)在区间(-1,1)上是递减函数。………………………9分
,即 ………………………11分
解得 .∴实数t的取值范围为.………………………12分