四川省遂宁市曹碑中学2023年高一数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. △ABC中,已知tanA=,tanB=,则∠C等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)135°
参考答案:
D
略
2. 下面表示同一集合的是( )
A.M={(1,2)},N={(2,1)} B.M={1,2},N={(1,2)}
C.M=?,N={?} D.M={x|x2﹣2x+1=0},N={1}
参考答案:
D
【考点】19:集合的相等.
【分析】根据集合相等的概念及构成集合元素的情况,可以找到正确选项.
【解答】解:A.(1,2),(2,1)表示两个不同的点,∴M≠N,∴该选项错误;
B.M有两个元素1,2,N有一个元素点(1,2),∴M≠N,∴该选项错误;
C.集合M是空集,集合N是含有一个元素空集的集合,∴M≠N,∴该选项错误;
D.解x2﹣2x+1=0得x=1,∴M={1}=N,∴该选项正确.
故选:D.
【点评】考查集合相等的概念,以及集合元素的构成情况.
3. 已知函数f(x)=,若存在x1∈(0,+∞),x2∈(﹣∞,0],使得f(x1)=f(x2),则x1的最小值为( )
A.log23 B.log32 C.1 D.2
参考答案:
B
【考点】分段函数的应用.
【分析】x≤0,f(x)≥1,存在x1∈(0,+∞),x2∈(﹣∞,0],使得f(x1)=f(x2),可得﹣1≥1,求出x1的范围,即可求出x1的最小值.
【解答】解:x≤0,f(x)≥1
∵存在x1∈(0,+∞),x2∈(﹣∞,0],使得f(x1)=f(x2),
∴﹣1≥1,
∴≥2,
∴x1≥log32,
∴x1的最小值为log32.
故选:B.
4. 若实数满足:集合,,:→表示把中的元
素映射到集合中的像仍为,则等于
A.-1 B.0 C.1 D.±1
参考答案:
C
略
5. 用二分法研究函数f(x)=x3﹣2x﹣1的理念时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为( )
A.(1,2) B.(1.75,2) C.(1.5,2) D.(1,1.5)
参考答案:
C
【考点】二分法的定义.
【分析】构造函数f(x)=x3﹣2x﹣1,确定f(1),f(2),f(1.5)的符号,根据零点存在定理,即可得到结论.
【解答】解:设函数f(x)=x3﹣2x﹣1,
∵f(1)=﹣2<0,f(2)=3>0,f(1.5)=﹣<0,
∴下一个有根区间是(1.5,2),
故选:C.
【点评】本题考查二分法,考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题.
6. 如果x∈R,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值为( )
A.1B. C. D.﹣1
参考答案:
D
【考点】三角函数的最值.
【分析】化简函数f(x),利用x∈R时,sinx∈[﹣1,1],即可求出函数f(x)的最小值.
【解答】解:函数f(x)=cos2x+sinx
=1﹣sin2x+sinx
=﹣+,
当x∈R时,sinx∈[﹣1,1],
所以sinx=﹣1时,函数f(x)取得最小值为﹣1.
故选:D.
7. 函数在区间内的零点个数( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
8. 过两点,的直线的倾斜角为45°,则y=( ).
A. B. C. -1 D. 1
参考答案:
C
由题意知直线AB的斜率为,
所以,
解得.选C.
9. 已知集合M={1,2,4,},N={,b},则M到N的映射共有( )个
(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9
参考答案:
C
10. 已知函数y=|sin(2x﹣)|,则以下说法正确的是( )
A.周期为
B.函数图象的一条对称轴是直线x=
C.函数在[,]上为减函数
D.函数是偶函数
参考答案:
B
【考点】正弦函数的对称性.
【分析】求出函数的周期判断A的正误;把x=代入函数的表达式,求出是否是最值,判断B的正误;
判断函数在[,]上的单调性,判断C的正误;直接判断函数的奇偶性判断D的正误;即可.
【解答】解:函数y=|sin(2x﹣)|,因为函数初相不是0,所以函数的周期为,A不正确;
把x=代入函数的表达式,函数取得最大值1,所以B正确;
函数在[,]上有增有减,所以C不正确;
函数当x=0时函数没有取得最值,显然不是偶函数,D不正确;
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直,则实数a的值为 .
参考答案:
3
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出.
【解答】解:∵直线x﹣ay+a=0与直线3x+y+2=0垂直,
∴3﹣a=0,
解得a=3.
故答案为:3.
12. 对于映射我们通常把A中的元素叫原象,与A中元素对应的B中的元素叫象。若(x,y)在一个映射的作用下的象是(x+y,xy),则(2,-3)的原象是
参考答案:
或
13. 已知△ABC,若存在△A1B1C1,满足===1,则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形,若等腰△ABC存在“友好”三角形,则其底角的弧度数为 .
参考答案:
【考点】正弦定理.
【分析】由题意可得cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1,设B=α=C,则A=π﹣2α,求得A1=2α,可得tan2α=﹣1,再根据2α∈(0,π)可得2α的值,从而求得α的值.
【解答】解:由题意可得等腰△ABC的三个内角A、B、C均为锐角,
且cosA=sinA1,cosB=sinB1,cosC=sinC1,
设B=α=C,则A=π﹣2α.
由于△A1B1C1中,A1、B1、C1不会全是锐角,
否则,有A+A1=,B+B1=,C+C1=,与三角形内角和矛盾.
故A1、B1、C1必有一个钝角,只能是顶角A1为钝角,C1和B1均为锐角.
故有 B1=﹣α,C1=﹣α,∴A1=2α.
再根据cosA=sinA1,可得cos(π﹣2α)=sin2α,即 sin2α+cos2α=0,
即tan2α=﹣1,再根据2α∈(0,π)可得2α=,∴α=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查新定义,诱导公式的应用,属于中档题.
14. 已知sin(a+)+sina=-,-<a<0,则cosa= .
参考答案:
略
15. 已知函数在上是增函数,则的取值范围是 .
参考答案:
16. ks5u
用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是 次。
参考答案:
4次
17. = .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
参考答案:
解:(1)圆化成标准方程为:,
所以圆心为,半径. ……2分
(2)设以线段为直径的圆为,且圆心的坐标为.
由于,,即,
∴ ① ……3分
由于直线过点,所以的方程可写这为,即,
因此. ……4分
又,
. ……5分
而,
所以 ② ……6分
由①②得:.
当时,,此时直线的方程为;
当时,,此时直线的方程为.
所以,所求斜率为1的直线是存在的,其方程为或. ……8分
略
19. 已知
参考答案:
解法一(从角的关系式入手):
注意到:
∴ =
= =①
∵ ∴ 又 >0②
∴ ∴ ③
于是将②③代入①得 =
解法二(目标的转换与追求):
注意到(目标) ①
(以下寻求的方向明确:由已知条件求 ) ∵ ②
∴ ∴∴ ③
从而由②、③得 = ④
⑤
于是将④⑤代入①得 .
20. 如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以
10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达C处.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
参考答案:
解:(1)依题意,,, ,.
在△中,由余弦定理,得
.解得.………4分
所以渔船甲的速度为海里/小时.
答:渔船甲的速度为海里/小时.…………6分
(2)在△中,因为,,,,
由余弦定理,得.即.…………9分
因为为锐角,所以.
答:的值为.…………12分
法二:在△ABC中,因为AB=12(海里),∠BAC=120°,BC=28(海里),∠BCA=α,由正弦定理,得=. Ks5u
即sin α===.………11分
答:的值为.…………12分
略
21. (本小题满分14分)
已知两条直线 求为何值时两条直线:
(1)相交; (2)平行;
(3)重合; (4)垂直.
参考答案:
(1)由,得
且
(2)由,得
(3)由,得
(4)由,得.
22. 计算的值。
参考答案:
解析:原式