天津蓟县燕山中学 2023年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)=sin(2x﹣)的图象为C,下面结论中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是2π
B.函数f(x)在区间(﹣,)上是增函数
C.图象C可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移个单位得到
D.图象C关于点(,0)对称
参考答案:
D
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论
【解答】解:根据函数f(x)=sin(2x﹣)的周期为=π,可得A错误;
在区间(﹣,)上,2x﹣∈(﹣,),故f(x)没有单调性,故B错误;
把函数g(x)=sin2x的图象向右平移个单位,可得y=sin(2x﹣)的图象,故C错误;
令x=,可得f(x)=sin(2x﹣)=0,图象C关于点(,0)对称,故D正确,
故选:D.
2. 阅读如图所示的框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A.﹣1008 B.﹣1007 C.1007 D.1008
参考答案:
B
考点:循环结构.
专题:图表型;算法和程序框图.
分析:程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…(﹣1)n﹣1?n,根据当n=2015时,程序运行终止,得S=1﹣2+3+…﹣2014.
解答: 解:由程序框图知:程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+(﹣1)n﹣1?n,
∵当n=2015时,不满足条件k<2015,程序运行终止,
∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007.
故答案为:﹣1007.
点评:本题考查了循环结构的程序框图,判断程序运行的功能是解答此类问题的关键,属于基础题.
3. 在△ABC中,AC=7,∠B=,△ABC的面积S=,则AB=
A、5 或3 B、 5 C、 3 D、5或6
参考答案:
A
略
4. 将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角,则异面直线AB和CD所成的角是 ( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且其图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sin(ωx)的图象,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称
C.关于点(,0)对称 D.关于点(,0)对称
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由条件利用正弦函数的周期性,以及正弦函数的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,可得=π,求得ω=2,f(x)=sin(2x+φ).
其图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sin(2x)的图象,
故有sin[2(x﹣)+φ]=sin2x,故可取φ=,f(x)=sin(2x+).
令2x+=kπ+,k∈Z,求得x=+,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,求得x=﹣,故函数f(x)的图象的对称中心为 (﹣,0),k∈Z,
故选:A.
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性,以及正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
6. 若双曲线的左右焦点分别为、,线段被抛物线 的焦点分成的两段,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[,) B.(0,) C.(0,) D.(,)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由题意可得可得,由此求得a的范围.
【解答】解:由于函数f(x)=是R上的减函数,可得,
求得≤a<,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题.
8. 在△ABC中,a(sin B-sin C)+b(sin C -sin A)+c(sin A-sin B)的值是 ( )
A. B.0 C.1 D.π
参考答案:
B
9. 函数的图像因酷似汉字的“囧”字,而被称为“囧函数”。则方程的实数根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
10. 设变量x,y满足约束条件则的最大值为
(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,正方体中,直线与平面所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
参考答案:
12. 过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______.
参考答案:
y=2x+4
略
13. 观察以下不等式
; ; ;
;
由此猜测第n个不等式是________________.
参考答案:
观察不等式的规律:; ; ; ;
所以由此猜测第n个不等式为。
14. 一平面截一球得到直径是的圆面,球心到这个平面的距离是,则该球的体积是__________.
参考答案:
球的半径为,故球的体积为.
15. 从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动,且每项活动有且仅有1人参加,甲不参加活动,则不同的选派方法有______________种.
参考答案:
100
略
16. 已知直线与曲线相切于点,则实数的值为______.
参考答案:
3
略
17. 已知向量,,其中.若,则= .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x+a|.
(Ⅰ)当a=1时,求y=f(x)图象与直线y=3围成区域的面积;
(Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的值.
参考答案:
【考点】5B:分段函数的应用;R4:绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)当a=1时可写出f(x)的解析式,进而可从图象上看出围成的区域即为三角形,计算即得结论;
(Ⅱ)分与两种情况讨论即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x+1|=,
其图象如图所示,易知y=f(x)图象与直线y=3交点坐标,
所以围成区域的面积为 [1﹣(﹣1)]×(3﹣)=.
(Ⅱ)当,即时,.
所以,
所以﹣a﹣1=1,解得a=﹣,满足题意;
当,即时,,
所以f(x)min=f()=|+a|=+a=1,解得a=,满足题意;
综上所述,或.
19. 设函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)f(x)<g(x)等价于(x﹣4)2<(2x+1)2,从而求得不等式f(x)<g(x)的解集.
(2)由题意2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,即H(x)的图象恒在直线G(x)=ax的上,即可求得a的范围.
【解答】解:(1)f(x)<g(x)等价于(x﹣4)2<(2x+1)2,∴x2+4x﹣5>0,
∴x<﹣5或x>1,
∴不等式的解集为{x|x<﹣5或x>1};
(2)令H(x)=2f(x)+g(x)=,G(x)=ax,
2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,即H(x)的图象恒在直线G(x)=ax的上方.
故直线G(x)=ax的斜率a满足﹣4≤a<,即a的范围为[﹣4,).
【点评】本题主要考查绝对值的意义,带由绝对值的函数,函数的恒成立问题,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.
20. (12分)已知函数f(x)=2ax--(2+a)lnx(a≥0).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)当a>0时,讨论f(x)的单调性;
(3)若对任意的a∈(2, 3),x-1, x2∈[1, 3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x-2)|成立,求实数m的取值范围。
参考答案:
(1)当时,
由,解得 ,可知在上是增函数,在上是减函数.
∴的极大值为,无极小值. ………………4分
.①当时,在和上是增函数,在上是减函数;
②当时,在上是增函数;
③当时,在和上是增函数,在上是减函数 8分
(3)当时,由(2)可知在上是增函数,
∴.
由对任意的a∈(2, 3),x-1, x2∈[1, 3]恒成立,
∴
即对任意恒成立,
即对任意恒成立,
由于当时,,∴. …………… 12分
21. (12分)已知函数,
(1)若函数的图象在点处的切线与直线平行,函数 在处取得极值,求函数的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若,且函数在上是减函数,求的取值范围.
参考答案:
(1)已知函数
又函数图象在点处的切线与直线平行,且函数在处取得极值,,且,解得
,且
令,
所以函数的单调递减区间为
(2)当时,,又函数在上是减函数
在上恒成立,
即在上恒成立。
22. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=.
(1) 求证:面PAB⊥平面PDC;
(2) 求二面角B﹣PD﹣C的正切值.
参考答案:
(1)证明:因为面PAD⊥面ABCD,平面PAD∩面ABCD=AD,四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA,
又,所以△PAD是等腰直角三角形,且,即PA⊥PD,
CDPD=D,且CD、PD?面ABCD,PA⊥面PDC,
又PA?面PAB,∴面PAB⊥面PDC;
(2)取PC的中点E,连接AC和BD,交点为F,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,交线为AD,CD⊥AD,所以CD⊥面PAD,即有CD⊥PD,
设PD的中点为M,连结EM,MF,EM//CD, 则EM⊥PD,
在△PAC中,EF//PA,PA⊥PD,可得PD⊥EF, 有PD⊥面EFM,于是PD⊥MF,
∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角。
由(1)PA⊥面PDC,EF⊥面PDC,有EF⊥ME, △FEM为直角三角形。
Rt△FEM中,,,,
故所求二面角的正切值为;