安徽省池州市东至县大渡口新庭中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知点又是曲线上的点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有
、种 、种 、种 、种
参考答案:
A
4. 已知是虚数单位,则复数的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为( )
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
C
略
6. 函数(为自然对数的底数)的图像可能是( )
参考答案:
A
【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】由解析式知函数为偶函数,故排除B、D。
又故选A。
故答案为:A
7. 设的最大值为( )
A. 80 B. C. 25 D.
参考答案:
A
8. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,点在该双曲线上,,则( )
A.1或17 B.1或19 C.17 D.19
参考答案:
答案:C
9. 已知元素为实数的集合A满足条件:若,则,那么集合A中所有元素的乘积是( )
A.-1 B.1 C.0 D.±1
参考答案:
B
10. 复数等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设数列{an}是首项为1公比为2的等比数列前n项和Sn,若log4(Sk+1)=4,则k= .
参考答案:
8
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.再利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:由log4(Sk+1)=4,可得:Sk+1=44,解得Sk=28﹣1.
又Sk==2k﹣1,
∴28﹣1=2k﹣1,
解得k=8.
故答案为:8.
12. 已知变量的最大值是 .
参考答案:
2
13. 在的展开式中,的系数等于
参考答案:
14. 在△中,,,,则_________.
参考答案:
15. 已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则++…+的值为 .
参考答案:
.
试题分析:因为函数的图象与直线交于点P,所以.又因为,所以,当时,,即切线的斜率为,所以在处的切线方程为
.令可得,即该切线与轴的交点的横坐标为,所以
++…+.故应填.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;幂函数的概念、解析式、定义域和值域.
16. 点P在曲线上移动,设在点处的切线的倾斜角为α,则α=
参考答案:
略
17. 设等比数列{an}满足a3=2,a10=256,则数列{4n2an}的前n项和为 .
参考答案:
Sn=(n2﹣2n+3)?2n+1﹣6.
解:设等比数列{an}的公比为q,a3=2,a10=256,
可得q7==128,解得q=2,
则an=a3qn﹣3=2n﹣2,
可得4n2an=n22n,
设数列{4n2an}的前n项和为Sn,
则Sn=1?2+22?22+32?23+…+n22n,
2Sn=1?22+22?23+32?24+…+n22n+1,
相减可得﹣Sn=1?2+3?22+5?23+…+(2n﹣1)?2n﹣n22n+1,
﹣2Sn=1?22+3?23+5?24+…+(2n﹣1)?2n+1﹣n22n+2,
相减可得Sn=1?2+2(22+23+…+2n)+n22n+1﹣(2n﹣1)?2n+1
=2+2?+(n2﹣2n+1)?2n+1
=(n2﹣2n+3)?2n+1﹣6.
故答案为:Sn=(n2﹣2n+3)?2n+1﹣6.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)当时,与相交于两点,求的最小值.
参考答案:
(1)∵,∴.
∴.
∴,
∴曲线的直角坐标方程为.
(2)由(1)可知圆心坐标为,半径为2,直线过点,∴,
∴时,的最小值为.
19. 已知,
(1) 求的最大和最小值。
(2) 求的取值范围。
(3) 求的最大和最小值。
解析:注意目标函数是代表的几何意义.
参考答案:
解:作出可行域。
(1),作一组平行线l:,解方程组得最优解B(3,1),。解得最优解C(7,9),
(2)表示可行域内的点(x,y)与(0,0)的连线的斜率。从图中可得,,又,。
(3)表示可行域内的点(x,y)到(0,0)的距离的平方。从图中易得,,(OF为O到直线AB的距离),。,,,。
略
20. 在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、,且点在第一象限,当四边形的周长最大时,求直线的普通方程.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)首先求得的普通方程,由此可求得的参数方程;(Ⅱ)设四边形的周长为,点,然后得到与的关系式,从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点,从而求得的普通方程.
考点:1、极坐标方程与参数方程间的互化;2、辅助角的应用.
【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
21. 某大楼共5层,4个人从第一层上电梯,假设每个人都等可能地在每一层下电梯,并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止.
(Ⅰ)求某乘客在第层下电梯的概率;
(Ⅱ)求电梯在第2层停下的概率;
(Ⅲ)求电梯停下的次数的数学期望.
参考答案:
解:(Ⅰ); (Ⅱ)
(Ⅲ)可取1、2、3、4四种值 ; ;
;
故的分布列如下表:
∴
1
2
3
4
22. 设向量=(2,6),=(sinθ,1),θ∈(0,π).
(1)若A、B、C三点共线,求cos(θ+);
(2)若?<,求θ的取值范围.
参考答案:
【考点】运用诱导公式化简求值;平面向量数量积的运算.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值;平面向量及应用.
【分析】(1)由条件利用三点共线的条件,求得sinθ的值,可得cos(θ+)的值.
(2)由条件利用两个向量的数量积的运算,求得2sinθ+sin2θ+7<,求得﹣<sinθ<,由此求得θ的范围.
【解答】解:(1)向量=(2,6),=(sinθ,1),θ∈(0,π),若A、B、C三点共线,
则有=,求得sinθ=,∴cos(θ+)=sinθ=.
(2)∵?=(2+sinθ,7)?(sinθ,1)=2sinθ+sin2θ+7<,
求得﹣<sinθ<,∴2kπ﹣<θ<2kπ+,k∈Z.
即要求的θ的取值范围为( 2kπ﹣,2kπ+ ),k∈Z.
【点评】本题主要考查三点共线的条件,两个向量的数量积的运算,解三角不等式,属于中档题.