江苏省盐城市新纪中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中既是偶函数又是上的增函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 关于的方程有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 设a,b是关于x的一元二次方程的两个实根,则的最小值是( )
A. B. 18 C. 8 D.-6
参考答案:
C
【分析】
由韦达定理得 ,且,则可变成,再求最小值。
【详解】因为是关于的一元二次方程的两个实根
所以由韦达定理得 ,且
所以
且或
由二次函数的性质知,当时,函数取得最小值为
即的最小值为8
故选C.
【点睛】本题考查通过方程的根与韦达定理求函数的最小值问题,属于一般题。
4. 函数的单调递减区间为( )
(A)(1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞) (D)(0,+∞)
参考答案:
B
略
5. 如果f(x)=mx2+(m-1)x+1在区间上为减函数,则m的取值范围( )
A. (0, B. C. D (0,)
参考答案:
C
解析:依题意知,若m=0,则成立;若m≠0,则开口向上,对称轴不小于1,从而取并集解得C。
6. 已知△ABC的周长为9,且,则cosC的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称,则函数在区间上的图象可能是
A.①④ B.②④ C.②③ D.③④
参考答案:
D
8. 已知函数f(x)在(﹣1,1)上既是奇函数,又是减函数,则满足f(1﹣x)+f(3x﹣2)<0的x的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(,1) C.(,+∞) D.(,1)
参考答案:
B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】直接利用函数的单调性以及奇偶性化简求解即可.
【解答】解:函数f(x)在(﹣1,1)上既是奇函数,又是减函数,
f(1﹣x)+f(3x﹣2)<0,
可得f(3x﹣2)<f(x﹣1),
可得,
解得:x∈.
故选:B.
9. 平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则点P的轨迹是( )
A.直线 B.射线 C.椭圆 D.双曲线
参考答案:
C
略
10. 已知a,b为非零实数,且,则下列命题成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C
【详解】对于选项A,令,时,,故A不正确;
对于选项C,,故C不正确;
对于选项D,令,时,,故D不正确;
对于选项B,,则
故选:B
【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中,已知,∠A=120°,,则∠B= 。
参考答案:
30°()
12. 已知随机变量,则DX=______.
参考答案:
9
【分析】
直接利用二项分布的方差公式求解即可.
【详解】.
故答案:9
【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
13. 双曲线的两个焦点分别为F1、F2, 双曲线上的点P到F1的距离为12, 则P到F2的距离为 .
参考答案:
22或2
14. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 .
参考答案:
1﹣
【考点】几何概型.
【分析】根据题意,记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,先求得边长为4的等边三角形的面积,再计算事件构成的区域面积,由几何概型可得P(),进而由对立事件的概率性质,可得答案.
【解答】解:记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A,则其对立事件为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”,
边长为4的等边三角形的面积为S=×42=4,
则事件构成的区域面积为S()=3×××π×12=,
由几何概型的概率公式得P()==;
P(A)=1﹣P()=1﹣;
故答案为:1﹣.
15. 已知f(x)=,则f(f(0))= .
参考答案:
﹣2
【考点】3T:函数的值.
【分析】求出f(0)=1,从而f(f(0))=f(1),由此能求出结果.
【解答】解:∵f(x)=,
∴f(0)=02+1=1,
f(f(0))=f(1)=﹣2×1=﹣2.
故答案为:﹣2.
16. 在平面上,用一条直线截正方形的一个角,则截下一个直角三角形按下图所标边长,由勾股定理得.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下正方体的“一个角”三条侧棱两两垂直的三棱锥O-ABC,若用表示三个侧面面积,表示截面面积,你类比得到,之间的关系式为_______________.
参考答案:
17. 设函数,满足,则的值是__________。
参考答案:
0或2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C,其中D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求证:B1F⊥平面AEF;
(3)求二面角A﹣EB1﹣F的大小.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)取AB的中点为G,连接DG,CG;根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论;
(2)直接把问题转化为证明AF⊥B1F以及B1F⊥EF;
(3)先建立空间直角坐标系,求出两个半平面的法向量,再代入向量的夹角计算公式即可.
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)设AB的中点为G,连接DG,CG
∵D是A1B的中点
∴DG∥A1A且DG=…
∵E是C1C的中点
∴CE∥A1A且CE=,
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形,
∴DE∥GC
∵DE?平面ABC,GC?平面ABC,
∴DE∥平面ABC…
(2)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC1B1
∴AF⊥平面BCC1B1
∴AF⊥B1F…
设AB=AA1=2,则在B1FE中,,
则,B1E=3
∴
∴△B1FE是直角三角形,
∴B1F⊥EF
∵AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF…
(3)分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角
坐标系A﹣xyz如图,
设AB=AA1=2,则
设A(0,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1)…
∵AF⊥平面BCC1B1,
∴面B1FE的法向量为=(1,1,0),…
设平面AB1E的法向量为,
∵,
∴,,
∴2y+z=0,,x+z=0,
不妨设z=﹣2,可得…
∴=
∵二面角A﹣EB1﹣F是锐角,
∴二面角A﹣EB1﹣F的大小45°…
19. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积的最大值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;
(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.
∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.
将y=x代入可得,
因此,解得a=2.
则b=1.
∴椭圆C的方程为;
(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),
则B(﹣x1,﹣y1).
∵直线AB的斜率,
又AB⊥AD,
∴直线AD的斜率.
设AD方程为y=kx+m,
由题意知k≠0,m≠0.
联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
∴.
因此.
由题意可得.
∴直线BD的方程为.
令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).
可得.
∴,即.
因此存在常数使得结论成立.
(ii)直线BD方程为,
令x=0,得,即N().
由(i)知M(3x1,0),
可得△OMN的面积为S==.
当且仅当时等号成立.
∴△OMN面积的最大值为.
【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.
20. (12分)已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(I) 求椭圆G的方程;
(II) 求的面积.
参考答案:
(Ⅰ)由已知得解得,又
所以椭圆G的方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为
由得
设A、B的坐标分别为AB中点为E,
则;因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。
此时方程①为解得所以
所以|AB|=.此时,点P(—3,2)到直线AB:的距离
所以△PAB的面积S=
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对任意x,x,xx,有。
参考答案:
解:(1)的定义域为。
2分
(i)若即,则
故在单调增加。 3分
(II)考虑函数
则
由于1
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