天津第五十七中学2022-2023学年高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知关于x的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
参考答案:
A
【分析】
按,,分类讨论.
【详解】当时,不等式为恒成立,符合题意;
当时,若不等式对任意恒成立,
则,解得;
当时,不等式不能对任意恒成立。
综上,的取值范围是.
【点睛】二次型不等式恒成立问题,要按二次项的系数分类,再结合二次函数的性质分类讨论.
2. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
参考答案:
C
略
3. 设全集为R,若M= ,N= ,则(CUM)∪(CUN)是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
4. 设函数若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( )
A. B.﹣4 C. D.4
参考答案:
A
【考点】奇函数;函数的值.
【专题】计算题.
【分析】由f(x)是奇函数得f(x)=﹣f(﹣x),再由x<0时,f(x)=2x,求出g(x)的解析式,再求出g(2)的值.
【解答】解:∵f(x)为奇函数,x<0时,f(x)=2x,
∴x>0时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x=,
即,.
故选A.
【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式,再求出函数的值,注意利用负号对自变量进行范围的转化.
5. 设函数f(x)=,对任意x恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D. ∪
参考答案:
C
6. 不等式的解集( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则的值为( )
A.79 B.69 C.5 D.-5
参考答案:
D
略
8. 若点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.(,)∪(,)
B.(,)∪(,)
C.(,)∪(,)
D.(,)∪(,)
参考答案:
B
【考点】正弦函数的单调性;象限角、轴线角;正切函数的单调性.
【专题】计算题.
【分析】先根据点P(sinα﹣cosα,tanα)在第一象限,得到sinα﹣cosα>0,tanα>0,进而可解出α的范围,确定答案.
【解答】解:∵
故选B.
【点评】本题主要考查正弦、正切函数值的求法.考查基础知识的简单应用.
9. 设是两个非空集合,定义集合,若, ,则( )
A. {0,1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,5}
参考答案:
D
10. 如图,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m, =n,则m+n的值为( )
A.1 B.2 C.﹣2 D.
参考答案:
B
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】根据平面内三点共线的充要条件进行判断,即若A,B,C三点共线,则.
【解答】解:由已知得,
结合=m, =n,所以.
又因为O,M,N三点共线,所以,
所以m+n=2.
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合A={xx2+(p+2)x+1=0, p∈R},若A∩R+=。则实数P的取值范围为 。
参考答案:
P(-4,+∞)
12. 若圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两点到直线2x+y+c=0(c>0)的距离等于1,则c的取值范围为________.
参考答案:
13. 已知角的终边过点的值为 .
参考答案:
14. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .
参考答案:
6:∏
略
15. 已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x(x+1)+2,则当x>0时,f(x)= .
参考答案:
x(1﹣x)﹣2
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由f(x)为奇函数,可得当x>0时,﹣x<0,f(x)=﹣f(﹣x)得到x>0时,f(x)的解析式,综合可得答案.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x(x+1)+2,
∴当x>0时,﹣x<0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣x(﹣x+1)+2]=x(1﹣x)﹣2,
故答案为:x(1﹣x)﹣2.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.
16. 若方程在内恰有一解,则的取值范围是 。
参考答案:
17. 若无穷等比数列{ a n }满足=,则该数列的公比是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 化简:
;
参考答案:
-1
【分析】
根据诱导公式对表达式进行化简,由此得出化简的结果.
【详解】依题意,原式.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.
19. 已知点,圆.
(1)若直线过点且到圆心的距离为1,求直线的方程;
(2)设过点的直线与圆交于两点(的斜率为正),当时,求以线段为直径的圆的方程.
参考答案:
(Ⅰ)或;(Ⅱ) .
试题分析: 把圆的方程变为标准方程后,分两种情况,①当直线的斜率存在时,因为直线经过点,设出直线的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离,让等于列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值,根据的值和的坐标写出直线的方程;②当直线的斜率不存在时,直线的方程为;
设直线的方程为,根据点到直线距离可以求出的值,再次联立直线与圆的方程解得中点坐标,即可以求出以线段为直径的圆的方程
解析:(Ⅰ)由题意知,圆的标准方程为: ,
∴圆心,半径,
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
∴,解得,
∴直线的方程为,即.
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时直线到圆心的距离为1,符合题意.
综上,直线的方程为或.
(Ⅱ)设过点的直线的方程为即,
则圆心到直线的距离,
解得,∴直线的方程为即,
联立直线与圆的方程得,
消去得,则中点的纵坐标为,
把代入直线中得,∴ 中点的坐标为,
由题意知,所求圆的半径为: ,
∴以线段为直径的圆的方程为: .
点睛:本题主要考查了直线与圆的位置关系的运用,注意讨论直线斜率存在与不存在的情况,结合点到直线距离及弦长公式求得直线方程,要求圆的方程先求出圆心坐标及半径即可。
20. 假设关于某种设备的使用年限和支出的维修费用(万元),有以下的统计资料:
使用年限
2
3
4
5
6
维修费用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知,对呈线性相关关系。
试求(1)线性回归方程的确回归系数.
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
参考公式:回归直线方程:y=bx+a,
参考答案:
解:(1)
(2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万) 答略
略
21. 已知直线l经过点(0,﹣2),其倾斜角的大小是60°.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程.
【专题】计算题.
【分析】(1)由已知中直线l的倾斜角可得其斜率,再由直线l经过点(0,﹣2),可得直线的点斜式方程,化为一般式可得答案.
(2)由(1)中直线l的方程,可得直线在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式可得答案.
【解答】解:(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,
故其斜率为,
又直线l经过点(0,﹣2),所以其方程为y﹣(﹣2)=x
即.…
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、﹣2,
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
.…
【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程,其中根据直线l经过点(0,﹣2),结合直线的斜率,求出直线方程是解答的关键.
22. 已知数列{an}为等差数列,a3=3,a7=7,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn﹣2
(1)求{an}、{bn}的通项公式
(2)若cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)利用等差数列通项公式列出方程组,求出首项、公差,由此能求出{an}的通项公式,由数列{bn}的前n项和Sn=2bn﹣2,得{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.
(2)由cn==,利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和.
【解答】解:(1)∵数列{an}为等差数列,a3=3,a7=7,设公差为d.
∴,解得,
∴an=1+(n﹣1)×1=n,n∈N*.
∵数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn﹣2,
∴b1=S1=2b1﹣2,解得b1=2,
当n≥2时,由Sn=2bn﹣2及Sn﹣1=2bn﹣1﹣2,
两式相减,得bn=2bn﹣2bn﹣1,∴bn=2bn﹣1,
∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴bn=2?2n﹣1=2n.(n∈N*).
(2)∵cn==,
∴数列{cn}的前n项和:
Tn=,①
=,②
①﹣②,得: =﹣
=﹣
=1﹣,
∴Tn=2﹣.