安徽省滁州市三圣中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有
A.种 B.种 C.种 D.种
参考答案:
D
2. 对一切实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(-∞,-2) C.[-2,2] D.[-2,+ )
参考答案:
D
略
3. 圆的圆心坐标是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 如图所示,曲线,围成的阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,应假设
A.方程没有实根 B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根
参考答案:
A
本题主要考查反证法证明问题的步骤,意在考查学生对基本概念的理解.
反证法证明问题时,反设实际上是命题的否定. 用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,应假设“方程没有实根”.故选A.
8.如图所示程序框图表示的算法的运行结果是
A.-2 B.2 C.-1 D.1
【答案】B
【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,意在考查学生的逻辑推理能力.
第一次执行程序:不满足条件i>3,不满足条件i是偶数,
第二次执行程序:不满足条件i>3,满足条件i是偶数,
第三次执行程序:不满足条件i>3,不满足条件i是偶数,;
第四次执行程序:满足条件i>3,退出循环,输出的值为2.
故选B.
【备注】正确判断循环的条件,依次写出每次循环得到的的值是求解本题的关键.
6. 将函数的图象向右平移个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线对称,则的最小正值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. ,复数表示纯虚数的充要条件是( )
A.或 B. C. D.或
参考答案:
B
8. 在水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,若 ,则原△ABC面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由题图可知原△ABC的高为AO=,
∴S△ABC=×BC×OA=×2×=.
9. 对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有如下关系:则( )
A.四点O、A、B、C必共面 B.四点P、A、B、C必共面
C.四点O、P、B、C必共面 D.五点O、P、A、B、C必共面
参考答案:
B
略
10. 空间四边形OABC中,OB=OC,?AOB=?AOC=600,则 ( )
A. B. C.? D.0
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,,,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则异面直线B1C与AA1所成角的大小是 .
参考答案:
设点B1在下底面圆周的射影为,连结,则,为直线与所成角(或补角),,连结,,为正三角形,,直线B1C与所成角大小为45°
12. 若数列的前项和则 .
参考答案:
9
13. 如图所示,设l1∥l2∥l3,AB∶BC=3∶2,DF=10,则DE=________.
参考答案:
4
14. 已知函数f(x)=ax+a﹣x(a>0,且a≠1),若f(1)=3,则f(2)= .
参考答案:
7
【考点】函数的值.
【分析】由f(1)=3得到a+a﹣1=3,平方后整理即可得到f(2)的值.
【解答】解:由f(x)=ax+a﹣x,且f(1)=3得,
a+a﹣1=3,
所以a2+a﹣2=(a+a﹣1)2﹣2=9﹣2=7.
故答案为7.
15. 在正三棱锥P-ABC中,PA=,,点E、F分别在侧棱PB、PC上,则周长的最小值为 .
参考答案:
略
16. 若命题“存在实数x,使”是假命题,则实数的取值范围是 .
参考答案:
17. 集合,,若,则实数的值为
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数(R),(R), .
(Ⅰ)设 存在实数使得(R)成立;当时,不等式有解.若“ ”是“ ”的必要不充分条件,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设 函数在区间(4,+∞)上单调递增;R,不等式恒成立.请问,是否存在实数使“非 ”为真命题且“ ”也为真命题?若存在,请求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)由得
即A: …………2分
当时,由得
即B: ………4分
∵“A”是“B”的必要不充分条件,
∴,
∴即实数的取值范围为……6分
(Ⅱ)存在. …………7分
由R,使恒成立得
当时, ,满足题意 …………8分
当时,,解得 …………9分
∴D: …………10分
∵“非C”为真命题,∴C为假命题…………11分
即“函数在区间(4,+∞)上单调递增” 为假命题
又在(,+∞)上单调递增
∴>4 …………12分
又“C∨D”为真命题,∴D为真命题…………13分
∴且>4
∴
故存在实数使“非C”为真命题且“C∨D”也为真命题,
所求实数的取值范围为…………14分
19. 如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于椭圆的短轴长。与轴的交点为,过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点,交椭圆于两点,
(Ⅰ)求、的方程;
(Ⅱ)记的面积分别为,若,
求直线AB的方程。
参考答案:
解:(Ⅰ) 又,得
………3分
(Ⅱ)设直线
,同理可得
……………………………5分
同理可得
……………………8分
所以
若 则 解得或…………10分
所以直线AB的方程为或。……………………12分
略
20. 已知A,B,C为△ABC的三内角,且其对边分别为a,b,c,若m=,n=,且m·n=.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=4,△ABC的面积为,求a的值.
参考答案:
(1)由m·n=得-2cos2+1=?cosA=-,所以A=120°.
(2)由S△ABC=bcsinA=bcsin120°=,得bc=4,
故a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12,
所以a=2.
21. (本小题满分12分) 如图1,在直角梯形中,,,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面;
(3)求点到平面的距离.
参考答案:
(1)证明:取中点,连结.
在△中,分别为的中点,
所以∥,且.
由已知∥,,
所以∥,且. …………………………3分
所以四边形为平行四边形.
所以∥. …………………………4分
又因为平面,且平面,
所以∥平面. ………………………4分
(3) 由(2)知,
所以 又因为平面
又= …………………………10分
所以,D到面BEC的距离为 …………………………12分
22. .已知.
(1)当函数在上的最大值为3时,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若对任意的,函数, 的图像与直线有且仅有两个不同的交点,试确定b的值.并求函数在上的单调递减区间.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)利用辅助角公式化简,再利用正弦函数的图像和性质求出在上的最大值,即可得到实数的值;
(2)把的值代入中,求出的最小正周期为,根据函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点,可得的值为,再由正弦函数的单调区间和整体思想求出减区间,再结合的范围求出减区间。
【详解】(1)由已知得,
时,
的最大值为,所以;
综上:函数在上的最大值为3时,
(2)当时, ,故的最小正周期为,
由于函数在的图像与直线有且仅有两个不同的交点,
故的值为.
又由,可得,
,
∵,
∴函数在上的单调递减区间为.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图像与性质,考查学生整体的思想,属于中档题。