安徽省阜阳市南照职业中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)在一个周期内的图象如图所示,M、N分别是这段图象的最高点和最低点,且,则A?ω=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.
【专题】压轴题;图表型.
【分析】根据图象求出函数的周期,再求出ω的值,根据周期设出M和N的坐标,利用向量的坐标运算求出A的值,即求出A?ω的值.
【解答】解:由图得,T=4×=π,则?=2,
设M(,A),则N(,﹣A),
∵,A>0,∴×﹣A×A=0,解得A=,
∴A?ω=.
故选C.
【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数,根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解,考查了读图能力.
2. 在某项体育比赛中,八位裁判为一选手打出的分数如下:
90 89 90 95 92 94 93 90
求此数据的众数和中位数分别为 ( )
A.90,91 B. 90 , 92 C.93, 91 D. 93 , 92
参考答案:
A
此数据的众数是90;把这一组数据按照从小到大的顺序排列,89,90,90,90,92,93,94,94,所以这组数据的中位数为。
3. 已知,则函数的最小值为( )
A. -2 B. C. 1 D. 2
参考答案:
A
【分析】
先分离,再根据基本不等式求最值,即得结果.
【详解】,当且仅当,即时,等号成立.
选A.
4. 数列{an}满足an =,则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
利用等差数列的前项和公式,化简数列的通项公式,再利用裂项相消法求出数列的前项和.
【详解】,所以数列的前项和为,
,故本题选B.
【点睛】本题考查了等差数列的前项和,利用裂项相消法求数列的前项和.
5. 若α∈(0,2π),且tanα>cotα>cosα>sinα,则α的取值范围是( )
A.(,) B.(, π) C.(,) D.(, 2π)
参考答案:
C
6. 已知点,,则线段PQ的中点为( )
A. (4,2)
B. (2,1)
C. (2,4)
D. (1,2)
参考答案:
B
【分析】
利用中点坐标公式直接求解出的中点的坐标.
【详解】因为点,,所以的中点的横坐标为,纵坐标为,所以线段的中点为,故本题选B.
【点睛】本题考查了中点坐标公式,熟记中点坐标公式是解题的关键.
7. 已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(3)g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
参考答案:
C
略
8. 已知,是两个不同的平面,m,n为两条不重合的直线,则下列命题中正确的为( )
A. 若,,,则
B. 若,,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
参考答案:
C
试题分析:A中可能平行,相交或直线在平面内;B中两平面可能平行可能相交;C中由面面垂直的判定可知结论正确;D中两平面可能平行可能相交
考点:空间线面垂直平行的判定与性质
9. 设=,=,且∥,则锐角α为
A.450 B.300 C. 600 D. 750
参考答案:
A
略
10. 由下表可计算出变量x,y的线性回归方程为( )
x
5
4
3
2
1
y
2
1.5
1
1
0.5
A. =0.35x+0.15 B. =﹣0.35x+0.25
C. =﹣0.35x+0.15 D. =0.35x+0.25
参考答案:
A
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】利用平均数公式求得平均数,代入公式求回归系数,可得回归直线方程.
【解答】解: ==3, ==1.2,
∴b==0.35,
a=1.2﹣0.35×3=0.15,
∴线性回归方程为y=0.35x+0.15.
故选:A.
【点评】本题考查了线性回归方程是求法,利用最小二乘法求回归系数时,计算要细心.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知不等式的解集为{x|—5则a+b= .
参考答案:
-1
略
12. 已知三个事件A,B,C两两互斥且,则P(A∪B∪C)=__________.
参考答案:
0.9
【分析】
先计算,再计算
【详解】
故答案为0.9
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算,属于基础题型.
13. 已知正数a,b满足,则的最小值为 .
参考答案:
7
已知正数a,b满足ab=a+b+1,则,a>0,得到b>1,
所以,
当且仅当b=2时等号成立;
所以a+2b的最小值为7.
14. 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)的值____________.
参考答案:
略
15. 已知两个正数x,y满足x+y=4,则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围是
参考答案:
16. 设等比数列{an}的公比q,前n项和为Sn.若S3,S2,S4成等差数列,则实数q的值为 .
参考答案:
﹣2
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】S3,S2,S4成等差数列,可得2S2=S3+S4,化为2a3+a4=0,即可得出.
【解答】解:∵S3,S2,S4成等差数列,∴2S2=S3+S4,∴2a3+a4=0,
可得q=﹣2.
故答案为:﹣2.
17. 设,,则a,b,c的大小关系是____________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5. 点D是AB的中点,
(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;
(III)求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
参考答案:
(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∴ AC⊥BC,
又因为 面ABC
又 面 面 AC⊥BC1;
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,
∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,∴ DE//AC1,
∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴ AC1//平面CDB1;
(III)∵ DE//AC1,∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CED中,ED=AC 1=,CD=AB=,CE=CB1=2,
∴ ,
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
19. (本小题满分12分)
已知某山区小学有100名四年级学生,将全体四年级学生随机按00~99编号,并且按编号顺序平均分成10组.现要从中抽取10名学生,各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
(1)若抽出的一个号码为22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽出学生的号码;
(2)分别统计这10名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图所示,求该样本的方差;
(3)在(2)的条件下,从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生,求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率.
参考答案:
解:(1)由题意,得抽出号码为22的组数为3. ………………………………………………………………………………………1分
因为2+10×(3-1)=22,所以第1组抽出的号码应该为02,抽出的10名学生的号码依次分别为:02, 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92. ………………………………………………………………………3分
(2)这10名学生的平均成绩为: ×(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,
故样本方差为:(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. ………………………6分
(3)从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生,共有如下10种不同的取法:
(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). ……………………………………………………………………………………………………8分
其中成绩之和不小于154分的有如下7种:(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81). ……………………………………………………………………………………………10分
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为:. ………………………………12分
20. (12分)袋中装大小和质地相同的红球、白球、黑球若干个,它们的数量比依次是2:1:1,现用分层抽样的方法从中抽取一个样本,抽出的红球和黑球一共6个.
(Ⅰ)求样本中红球、白球、黑球的个数;
(Ⅱ)若从样本中任取2个球,求下列事件的概率;
(i)含有红球;
(ii)恰有1个黑球.
参考答案:
(Ⅰ) ∵ 红球和黑球在总数中所占比例为,………1分
样本中所有球的总数. ………2分
∴ 红球的个数为………3分
白球的个数为,………4分
黑球的个数为.………5分
(Ⅱ)记“2个球1红1白”为事件A,“2个球1红1黑” 为事件B,“ 2个球都是红球” 为事件C,“ 2个球1白1黑” 为事件D
则A中的基本事件个数为8,B中的基本事件个数为8,C中的基本事件个数为6,D中的基本事件个数为4,全部基本事件的总数为28. ………8分
(i) 方法一:含有红球的概率为
………10分
方法二:“2个都是白球”, “2个都是黑球”的基本事件个数都为1,
(ii)恰有1个黑球的概率 ………12分
21. (12分)如图,C、D是以AB为直径的圆上两点,AB=2AD=2,AC=BC,F 是AB上一点,且AF=AB,将圆沿直径AB折起,使点C在平面ABD的射影E在BD上,已知CE=.
(1)求证:AD⊥平面BCE;
(2)求证:AD∥平面CEF;
(3)求三棱锥A﹣CFD的体积.
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: (1)依题AD⊥BD,CE⊥AD,由此能证明AD⊥平面BCE.
(2)由已知得BE=2,BD=3.从而AD∥EF,由此能证明AD∥平面CEF.
(3)由VA﹣CFD=VC﹣AFD,利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积.
解答: (1)证明:依题AD⊥BD,
∵CE⊥平面ABD,∴CE⊥AD,
∵BD∩CE=E,
∴AD⊥平面BCE.
(2)证明:Rt△BCE中,CE=,BC=,∴BE=2,
Rt△ABD中,AB=2,AD=,∴BD=3.
∴.
∴AD∥EF,∵AD在平